Certification Problem

Input (TPDB TRS_Standard/AProVE_07/thiemann04)

The rewrite relation of the following TRS is considered.

eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)
eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)
or(true,y)	→	true	(5)
or(false,y)	→	y	(6)
union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)
isEmpty(empty)	→	true	(9)
isEmpty(edge(x,y,i))	→	false	(10)
from(edge(x,y,i))	→	x	(11)
to(edge(x,y,i))	→	y	(12)
rest(edge(x,y,i))	→	i	(13)
rest(empty)	→	empty	(14)
reach(x,y,i,h)	→	if1(eq(x,y),isEmpty(i),eq(x,from(i)),eq(y,to(i)),x,y,i,h)	(15)
if1(true,b1,b2,b3,x,y,i,h)	→	true	(16)
if1(false,b1,b2,b3,x,y,i,h)	→	if2(b1,b2,b3,x,y,i,h)	(17)
if2(true,b2,b3,x,y,i,h)	→	false	(18)
if2(false,b2,b3,x,y,i,h)	→	if3(b2,b3,x,y,i,h)	(19)
if3(false,b3,x,y,i,h)	→	reach(x,y,rest(i),edge(from(i),to(i),h))	(20)
if3(true,b3,x,y,i,h)	→	if4(b3,x,y,i,h)	(21)
if4(true,x,y,i,h)	→	true	(22)
if4(false,x,y,i,h)	→	or(reach(x,y,rest(i),h),reach(to(i),y,union(rest(i),h),empty))	(23)

Property / Task

Prove or disprove termination.

Answer / Result

Yes.

Proof (by AProVE @ termCOMP 2023)

1 Switch to Innermost Termination

The TRS is overlay and locally confluent:

Hence, it suffices to show innermost termination in the following.

1.1 Dependency Pair Transformation

The following set of initial dependency pairs has been identified.

eq^#(s(x),s(y))	→	eq^#(x,y)	(24)
union^#(edge(x,y,i),h)	→	union^#(i,h)	(25)
reach^#(x,y,i,h)	→	if1^#(eq(x,y),isEmpty(i),eq(x,from(i)),eq(y,to(i)),x,y,i,h)	(26)
reach^#(x,y,i,h)	→	eq^#(x,y)	(27)
reach^#(x,y,i,h)	→	isEmpty^#(i)	(28)
reach^#(x,y,i,h)	→	eq^#(x,from(i))	(29)
reach^#(x,y,i,h)	→	from^#(i)	(30)
reach^#(x,y,i,h)	→	eq^#(y,to(i))	(31)
reach^#(x,y,i,h)	→	to^#(i)	(32)
if1^#(false,b1,b2,b3,x,y,i,h)	→	if2^#(b1,b2,b3,x,y,i,h)	(33)
if2^#(false,b2,b3,x,y,i,h)	→	if3^#(b2,b3,x,y,i,h)	(34)
if3^#(false,b3,x,y,i,h)	→	reach^#(x,y,rest(i),edge(from(i),to(i),h))	(35)
if3^#(false,b3,x,y,i,h)	→	rest^#(i)	(36)
if3^#(false,b3,x,y,i,h)	→	from^#(i)	(37)
if3^#(false,b3,x,y,i,h)	→	to^#(i)	(38)
if3^#(true,b3,x,y,i,h)	→	if4^#(b3,x,y,i,h)	(39)
if4^#(false,x,y,i,h)	→	or^#(reach(x,y,rest(i),h),reach(to(i),y,union(rest(i),h),empty))	(40)
if4^#(false,x,y,i,h)	→	reach^#(x,y,rest(i),h)	(41)
if4^#(false,x,y,i,h)	→	rest^#(i)	(42)
if4^#(false,x,y,i,h)	→	reach^#(to(i),y,union(rest(i),h),empty)	(43)
if4^#(false,x,y,i,h)	→	to^#(i)	(44)
if4^#(false,x,y,i,h)	→	union^#(rest(i),h)	(45)

1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 3 components.

The 1^st component contains the pair

reach^#(x,y,i,h)	→	if1^#(eq(x,y),isEmpty(i),eq(x,from(i)),eq(y,to(i)),x,y,i,h)	(26)
if1^#(false,b1,b2,b3,x,y,i,h)	→	if2^#(b1,b2,b3,x,y,i,h)	(33)
if2^#(false,b2,b3,x,y,i,h)	→	if3^#(b2,b3,x,y,i,h)	(34)
if3^#(false,b3,x,y,i,h)	→	reach^#(x,y,rest(i),edge(from(i),to(i),h))	(35)
if3^#(true,b3,x,y,i,h)	→	if4^#(b3,x,y,i,h)	(39)
if4^#(false,x,y,i,h)	→	reach^#(x,y,rest(i),h)	(41)
if4^#(false,x,y,i,h)	→	reach^#(to(i),y,union(rest(i),h),empty)	(43)

1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

to(edge(x,y,i))	→	y	(12)
rest(edge(x,y,i))	→	i	(13)
rest(empty)	→	empty	(14)
union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)
from(edge(x,y,i))	→	x	(11)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)
eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)
isEmpty(empty)	→	true	(9)
isEmpty(edge(x,y,i))	→	false	(10)

1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

union(empty,x0)

union(edge(x0,x1,x2),x3)

isEmpty(empty)

isEmpty(edge(x0,x1,x2))

from(edge(x0,x1,x2))

to(edge(x0,x1,x2))

rest(edge(x0,x1,x2))

rest(empty)

1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 1 to get the following set of pairs

reach^#(0,0,y2,y3)	→	if1^#(true,isEmpty(y2),eq(0,from(y2)),eq(0,to(y2)),0,0,y2,y3)	(46)
reach^#(0,s(x0),y2,y3)	→	if1^#(false,isEmpty(y2),eq(0,from(y2)),eq(s(x0),to(y2)),0,s(x0),y2,y3)	(47)
reach^#(s(x0),0,y2,y3)	→	if1^#(false,isEmpty(y2),eq(s(x0),from(y2)),eq(0,to(y2)),s(x0),0,y2,y3)	(48)
reach^#(s(x0),s(x1),y2,y3)	→	if1^#(eq(x0,x1),isEmpty(y2),eq(s(x0),from(y2)),eq(s(x1),to(y2)),s(x0),s(x1),y2,y3)	(49)

1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if2^#(false,b2,b3,x,y,i,h)	→	if3^#(b2,b3,x,y,i,h)	(34)
if3^#(false,b3,x,y,i,h)	→	reach^#(x,y,rest(i),edge(from(i),to(i),h))	(35)
reach^#(0,s(x0),y2,y3)	→	if1^#(false,isEmpty(y2),eq(0,from(y2)),eq(s(x0),to(y2)),0,s(x0),y2,y3)	(47)
if1^#(false,b1,b2,b3,x,y,i,h)	→	if2^#(b1,b2,b3,x,y,i,h)	(33)
reach^#(s(x0),0,y2,y3)	→	if1^#(false,isEmpty(y2),eq(s(x0),from(y2)),eq(0,to(y2)),s(x0),0,y2,y3)	(48)
reach^#(s(x0),s(x1),y2,y3)	→	if1^#(eq(x0,x1),isEmpty(y2),eq(s(x0),from(y2)),eq(s(x1),to(y2)),s(x0),s(x1),y2,y3)	(49)
if3^#(true,b3,x,y,i,h)	→	if4^#(b3,x,y,i,h)	(39)
if4^#(false,x,y,i,h)	→	reach^#(x,y,rest(i),h)	(41)
if4^#(false,x,y,i,h)	→	reach^#(to(i),y,union(rest(i),h),empty)	(43)

1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 1 to get the following set of pairs

if4^#(false,y0,y1,edge(x0,x1,x2),y3)

→

reach^#(x1,y1,union(rest(edge(x0,x1,x2)),y3),empty)

(50)

1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if1^#(false,y_0,y_2,y_4,0,s(z0),z1,z2)	→	if2^#(y_0,y_2,y_4,0,s(z0),z1,z2)	(52)
if1^#(false,y_0,y_2,y_4,s(z0),0,z1,z2)	→	if2^#(y_0,y_2,y_4,s(z0),0,z1,z2)	(53)
if1^#(false,y_1,y_3,y_5,s(z0),s(z1),z2,z3)	→	if2^#(y_1,y_3,y_5,s(z0),s(z1),z2,z3)	(54)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if2^#(false,z1,z2,0,s(z3),z4,z5)	→	if3^#(z1,z2,0,s(z3),z4,z5)	(55)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),0,z4,z5)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),0,z4,z5)	(56)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	(57)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(false,z1,0,s(z2),z3,z4)	→	reach^#(0,s(z2),rest(z3),edge(from(z3),to(z3),z4))	(58)
if3^#(false,z1,s(z2),0,z3,z4)	→	reach^#(s(z2),0,rest(z3),edge(from(z3),to(z3),z4))	(59)
if3^#(false,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	reach^#(s(z2),s(z3),rest(z4),edge(from(z4),to(z4),z5))	(60)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(true,z1,0,s(z2),z3,z4)	→	if4^#(z1,0,s(z2),z3,z4)	(61)
if3^#(true,z1,s(z2),0,z3,z4)	→	if4^#(z1,s(z2),0,z3,z4)	(62)
if3^#(true,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	if4^#(z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	(63)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,0,s(z1),z2,z3)	→	reach^#(0,s(z1),rest(z2),z3)	(64)
if4^#(false,s(z1),0,z2,z3)	→	reach^#(s(z1),0,rest(z2),z3)	(65)
if4^#(false,s(z1),s(z2),z3,z4)	→	reach^#(s(z1),s(z2),rest(z3),z4)	(66)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,0,s(z1),edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,s(z1),union(x4,z3),empty)	(67)
if4^#(false,s(z1),0,edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,0,union(x4,z3),empty)	(68)
if4^#(false,s(z1),s(z2),edge(x2,x3,x4),z4)	→	reach^#(x3,s(z2),union(x4,z4),empty)	(69)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 2 components.

The 1^st component contains the pair

if1^#(false,y_0,y_2,y_4,0,s(z0),z1,z2)	→	if2^#(y_0,y_2,y_4,0,s(z0),z1,z2)	(52)
if2^#(false,z1,z2,0,s(z3),z4,z5)	→	if3^#(z1,z2,0,s(z3),z4,z5)	(55)
if3^#(false,z1,0,s(z2),z3,z4)	→	reach^#(0,s(z2),rest(z3),edge(from(z3),to(z3),z4))	(58)
reach^#(0,s(x0),y2,y3)	→	if1^#(false,isEmpty(y2),eq(0,from(y2)),eq(s(x0),to(y2)),0,s(x0),y2,y3)	(47)
if3^#(true,z1,0,s(z2),z3,z4)	→	if4^#(z1,0,s(z2),z3,z4)	(61)
if4^#(false,0,s(z1),z2,z3)	→	reach^#(0,s(z1),rest(z2),z3)	(64)
if4^#(false,0,s(z1),edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,s(z1),union(x4,z3),empty)	(67)
reach^#(s(x0),s(x1),y2,y3)	→	if1^#(eq(x0,x1),isEmpty(y2),eq(s(x0),from(y2)),eq(s(x1),to(y2)),s(x0),s(x1),y2,y3)	(49)
if1^#(false,y_1,y_3,y_5,s(z0),s(z1),z2,z3)	→	if2^#(y_1,y_3,y_5,s(z0),s(z1),z2,z3)	(54)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	(57)
if3^#(false,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	reach^#(s(z2),s(z3),rest(z4),edge(from(z4),to(z4),z5))	(60)
if3^#(true,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	if4^#(z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	(63)
if4^#(false,s(z1),s(z2),z3,z4)	→	reach^#(s(z1),s(z2),rest(z3),z4)	(66)
if4^#(false,s(z1),s(z2),edge(x2,x3,x4),z4)	→	reach^#(x3,s(z2),union(x4,z4),empty)	(69)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if1^#(false,false,x1,x2,0,s(x3),x4,x5)

→

if2^#(false,x1,x2,0,s(x3),x4,x5)

(70)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 2 to get the following set of pairs

reach^#(0,s(y0),empty,y2)	→	if1^#(false,true,eq(0,from(empty)),eq(s(y0),to(empty)),0,s(y0),empty,y2)	(71)
reach^#(0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(0,from(edge(x0,x1,x2))),eq(s(y0),to(edge(x0,x1,x2))),0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	(72)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if3^#(false,z1,0,s(z2),z3,z4)	→	reach^#(0,s(z2),rest(z3),edge(from(z3),to(z3),z4))	(58)
reach^#(0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(0,from(edge(x0,x1,x2))),eq(s(y0),to(edge(x0,x1,x2))),0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	(72)
if1^#(false,false,x1,x2,0,s(x3),x4,x5)	→	if2^#(false,x1,x2,0,s(x3),x4,x5)	(70)
if2^#(false,z1,z2,0,s(z3),z4,z5)	→	if3^#(z1,z2,0,s(z3),z4,z5)	(55)
if3^#(true,z1,0,s(z2),z3,z4)	→	if4^#(z1,0,s(z2),z3,z4)	(61)
if4^#(false,0,s(z1),z2,z3)	→	reach^#(0,s(z1),rest(z2),z3)	(64)
if4^#(false,0,s(z1),edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,s(z1),union(x4,z3),empty)	(67)
reach^#(s(x0),s(x1),y2,y3)	→	if1^#(eq(x0,x1),isEmpty(y2),eq(s(x0),from(y2)),eq(s(x1),to(y2)),s(x0),s(x1),y2,y3)	(49)
if1^#(false,y_1,y_3,y_5,s(z0),s(z1),z2,z3)	→	if2^#(y_1,y_3,y_5,s(z0),s(z1),z2,z3)	(54)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	(57)
if3^#(false,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	reach^#(s(z2),s(z3),rest(z4),edge(from(z4),to(z4),z5))	(60)
if3^#(true,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	if4^#(z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	(63)
if4^#(false,s(z1),s(z2),z3,z4)	→	reach^#(s(z1),s(z2),rest(z3),z4)	(66)
if4^#(false,s(z1),s(z2),edge(x2,x3,x4),z4)	→	reach^#(x3,s(z2),union(x4,z4),empty)	(69)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

if3^#(false,y0,0,s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(0,s(y1),x2,edge(from(edge(x0,x1,x2)),to(edge(x0,x1,x2)),y3))	(75)
if3^#(false,y0,0,s(y1),empty,y3)	→	reach^#(0,s(y1),empty,edge(from(empty),to(empty),y3))	(76)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if2^#(false,z1,z2,0,s(z3),z4,z5)	→	if3^#(z1,z2,0,s(z3),z4,z5)	(55)
if3^#(true,z1,0,s(z2),z3,z4)	→	if4^#(z1,0,s(z2),z3,z4)	(61)
if4^#(false,0,s(z1),z2,z3)	→	reach^#(0,s(z1),rest(z2),z3)	(64)
reach^#(0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(0,x0),eq(s(y0),x1),0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	(74)
if1^#(false,false,x1,x2,0,s(x3),x4,x5)	→	if2^#(false,x1,x2,0,s(x3),x4,x5)	(70)
if4^#(false,0,s(z1),edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,s(z1),union(x4,z3),empty)	(67)
reach^#(s(x0),s(x1),y2,y3)	→	if1^#(eq(x0,x1),isEmpty(y2),eq(s(x0),from(y2)),eq(s(x1),to(y2)),s(x0),s(x1),y2,y3)	(49)
if1^#(false,y_1,y_3,y_5,s(z0),s(z1),z2,z3)	→	if2^#(y_1,y_3,y_5,s(z0),s(z1),z2,z3)	(54)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	(57)
if3^#(false,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	reach^#(s(z2),s(z3),rest(z4),edge(from(z4),to(z4),z5))	(60)
if3^#(true,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	if4^#(z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	(63)
if4^#(false,s(z1),s(z2),z3,z4)	→	reach^#(s(z1),s(z2),rest(z3),z4)	(66)
if4^#(false,s(z1),s(z2),edge(x2,x3,x4),z4)	→	reach^#(x3,s(z2),union(x4,z4),empty)	(69)
if3^#(false,y0,0,s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(0,s(y1),x2,edge(from(edge(x0,x1,x2)),to(edge(x0,x1,x2)),y3))	(75)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

if4^#(false,0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	reach^#(0,s(y0),x2,y2)	(79)
if4^#(false,0,s(y0),empty,y2)	→	reach^#(0,s(y0),empty,y2)	(80)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if3^#(true,z1,0,s(z2),z3,z4)	→	if4^#(z1,0,s(z2),z3,z4)	(61)
if4^#(false,0,s(z1),edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,s(z1),union(x4,z3),empty)	(67)
reach^#(s(x0),s(x1),y2,y3)	→	if1^#(eq(x0,x1),isEmpty(y2),eq(s(x0),from(y2)),eq(s(x1),to(y2)),s(x0),s(x1),y2,y3)	(49)
if1^#(false,y_1,y_3,y_5,s(z0),s(z1),z2,z3)	→	if2^#(y_1,y_3,y_5,s(z0),s(z1),z2,z3)	(54)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	(57)
if3^#(false,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	reach^#(s(z2),s(z3),rest(z4),edge(from(z4),to(z4),z5))	(60)
if3^#(true,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	if4^#(z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	(63)
if4^#(false,s(z1),s(z2),z3,z4)	→	reach^#(s(z1),s(z2),rest(z3),z4)	(66)
if4^#(false,s(z1),s(z2),edge(x2,x3,x4),z4)	→	reach^#(x3,s(z2),union(x4,z4),empty)	(69)
reach^#(0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(0,x0),eq(s(y0),x1),0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	(74)
if1^#(false,false,x1,x2,0,s(x3),x4,x5)	→	if2^#(false,x1,x2,0,s(x3),x4,x5)	(70)
if2^#(false,z1,z2,0,s(z3),z4,z5)	→	if3^#(z1,z2,0,s(z3),z4,z5)	(55)
if3^#(false,y0,0,s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(0,s(y1),x2,edge(x0,x1,y3))	(78)
if4^#(false,0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	reach^#(0,s(y0),x2,y2)	(79)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if1^#(false,false,y_0,y_1,0,s(z0),edge(z1,z2,z3),z4)

→

if2^#(false,y_0,y_1,0,s(z0),edge(z1,z2,z3),z4)

(81)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if2^#(false,z0,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)

→

if3^#(z0,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)

(82)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(true,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)

→

if4^#(z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)

(83)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if1^#(false,false,x1,x2,s(x3),s(x4),x5,x6)

→

if2^#(false,x1,x2,s(x3),s(x4),x5,x6)

(84)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 2 to get the following set of pairs

reach^#(s(y0),s(y1),empty,y3)	→	if1^#(eq(y0,y1),true,eq(s(y0),from(empty)),eq(s(y1),to(empty)),s(y0),s(y1),empty,y3)	(85)
reach^#(s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	if1^#(eq(y0,y1),false,eq(s(y0),from(edge(x0,x1,x2))),eq(s(y1),to(edge(x0,x1,x2))),s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	(86)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

reach^#(0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(0,x0),eq(s(y0),x1),0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	(74)
if1^#(false,false,y_0,y_1,0,s(z0),edge(z1,z2,z3),z4)	→	if2^#(false,y_0,y_1,0,s(z0),edge(z1,z2,z3),z4)	(81)
if2^#(false,z0,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	→	if3^#(z0,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	(82)
if3^#(false,y0,0,s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(0,s(y1),x2,edge(x0,x1,y3))	(78)
if3^#(true,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	→	if4^#(z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	(83)
if4^#(false,0,s(z1),edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,s(z1),union(x4,z3),empty)	(67)
reach^#(s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	if1^#(eq(y0,y1),false,eq(s(y0),from(edge(x0,x1,x2))),eq(s(y1),to(edge(x0,x1,x2))),s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	(86)
if1^#(false,false,x1,x2,s(x3),s(x4),x5,x6)	→	if2^#(false,x1,x2,s(x3),s(x4),x5,x6)	(84)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	(57)
if3^#(false,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	reach^#(s(z2),s(z3),rest(z4),edge(from(z4),to(z4),z5))	(60)
if3^#(true,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	if4^#(z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	(63)
if4^#(false,s(z1),s(z2),z3,z4)	→	reach^#(s(z1),s(z2),rest(z3),z4)	(66)
if4^#(false,s(z1),s(z2),edge(x2,x3,x4),z4)	→	reach^#(x3,s(z2),union(x4,z4),empty)	(69)
if4^#(false,0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	reach^#(0,s(y0),x2,y2)	(79)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)
rest(edge(x,y,i))	→	i	(13)
rest(empty)	→	empty	(14)
from(edge(x,y,i))	→	x	(11)
to(edge(x,y,i))	→	y	(12)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)
eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

union(empty,x0)

union(edge(x0,x1,x2),x3)

from(edge(x0,x1,x2))

to(edge(x0,x1,x2))

rest(edge(x0,x1,x2))

rest(empty)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

if4^#(false,0,s(y0),edge(y1,y2,empty),x0)	→	reach^#(y2,s(y0),x0,empty)	(89)
if4^#(false,0,s(y0),edge(y1,y2,edge(x0,x1,x2)),x3)	→	reach^#(y2,s(y0),edge(x0,x1,union(x2,x3)),empty)	(90)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

if3^#(false,y0,s(y1),s(y2),edge(x0,x1,x2),y4)	→	reach^#(s(y1),s(y2),x2,edge(from(edge(x0,x1,x2)),to(edge(x0,x1,x2)),y4))	(91)
if3^#(false,y0,s(y1),s(y2),empty,y4)	→	reach^#(s(y1),s(y2),empty,edge(from(empty),to(empty),y4))	(92)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if1^#(false,false,y_0,y_1,0,s(z0),edge(z1,z2,z3),z4)	→	if2^#(false,y_0,y_1,0,s(z0),edge(z1,z2,z3),z4)	(81)
if2^#(false,z0,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	→	if3^#(z0,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	(82)
if3^#(false,y0,0,s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(0,s(y1),x2,edge(x0,x1,y3))	(78)
reach^#(0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(0,x0),eq(s(y0),x1),0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	(74)
if3^#(true,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	→	if4^#(z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	(83)
if4^#(false,0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	reach^#(0,s(y0),x2,y2)	(79)
if4^#(false,0,s(y0),edge(y1,y2,empty),x0)	→	reach^#(y2,s(y0),x0,empty)	(89)
reach^#(s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	if1^#(eq(y0,y1),false,eq(s(y0),x0),eq(s(y1),x1),s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	(88)
if1^#(false,false,x1,x2,s(x3),s(x4),x5,x6)	→	if2^#(false,x1,x2,s(x3),s(x4),x5,x6)	(84)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	(57)
if3^#(true,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	if4^#(z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	(63)
if4^#(false,s(z1),s(z2),z3,z4)	→	reach^#(s(z1),s(z2),rest(z3),z4)	(66)
if4^#(false,s(z1),s(z2),edge(x2,x3,x4),z4)	→	reach^#(x3,s(z2),union(x4,z4),empty)	(69)
if3^#(false,y0,s(y1),s(y2),edge(x0,x1,x2),y4)	→	reach^#(s(y1),s(y2),x2,edge(from(edge(x0,x1,x2)),to(edge(x0,x1,x2)),y4))	(91)
if4^#(false,0,s(y0),edge(y1,y2,edge(x0,x1,x2)),x3)	→	reach^#(y2,s(y0),edge(x0,x1,union(x2,x3)),empty)	(90)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

to(edge(x,y,i))	→	y	(12)
union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)
rest(edge(x,y,i))	→	i	(13)
rest(empty)	→	empty	(14)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)
eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

union(empty,x0)

union(edge(x0,x1,x2),x3)

to(edge(x0,x1,x2))

rest(edge(x0,x1,x2))

rest(empty)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)
rest(edge(x,y,i))	→	i	(13)
rest(empty)	→	empty	(14)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)
eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

union(empty,x0)

union(edge(x0,x1,x2),x3)

rest(edge(x0,x1,x2))

rest(empty)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

if4^#(false,s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(s(y0),s(y1),x2,y3)	(95)
if4^#(false,s(y0),s(y1),empty,y3)	→	reach^#(s(y0),s(y1),empty,y3)	(96)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if2^#(false,z0,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	→	if3^#(z0,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	(82)
if3^#(false,y0,0,s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(0,s(y1),x2,edge(x0,x1,y3))	(78)
reach^#(0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(0,x0),eq(s(y0),x1),0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	(74)
if1^#(false,false,y_0,y_1,0,s(z0),edge(z1,z2,z3),z4)	→	if2^#(false,y_0,y_1,0,s(z0),edge(z1,z2,z3),z4)	(81)
if3^#(true,z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	→	if4^#(z1,0,s(z2),edge(z3,z4,z5),z6)	(83)
if4^#(false,0,s(y0),edge(x0,x1,x2),y2)	→	reach^#(0,s(y0),x2,y2)	(79)
if4^#(false,0,s(y0),edge(y1,y2,empty),x0)	→	reach^#(y2,s(y0),x0,empty)	(89)
reach^#(s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	if1^#(eq(y0,y1),false,eq(s(y0),x0),eq(s(y1),x1),s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	(88)
if1^#(false,false,x1,x2,s(x3),s(x4),x5,x6)	→	if2^#(false,x1,x2,s(x3),s(x4),x5,x6)	(84)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),s(z4),z5,z6)	(57)
if3^#(true,z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	→	if4^#(z1,s(z2),s(z3),z4,z5)	(63)
if4^#(false,s(z1),s(z2),edge(x2,x3,x4),z4)	→	reach^#(x3,s(z2),union(x4,z4),empty)	(69)
if4^#(false,s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(s(y0),s(y1),x2,y3)	(95)
if3^#(false,y0,s(y1),s(y2),edge(x0,x1,x2),y4)	→	reach^#(s(y1),s(y2),x2,edge(x0,x1,y4))	(94)
if4^#(false,0,s(y0),edge(y1,y2,edge(x0,x1,x2)),x3)	→	reach^#(y2,s(y0),edge(x0,x1,union(x2,x3)),empty)	(90)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)
eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

union(empty,x0)

union(edge(x0,x1,x2),x3)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

if4^#(false,s(y0),s(y1),edge(y2,y3,empty),x0)	→	reach^#(y3,s(y1),x0,empty)	(97)
if4^#(false,s(y0),s(y1),edge(y2,y3,edge(x0,x1,x2)),x3)	→	reach^#(y3,s(y1),edge(x0,x1,union(x2,x3)),empty)	(98)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if1^#(false,false,y_1,y_2,s(z0),s(z1),edge(z2,z3,z4),z5)

→

if2^#(false,y_1,y_2,s(z0),s(z1),edge(z2,z3,z4),z5)

(99)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if2^#(false,z0,z1,s(z2),s(z3),edge(z4,z5,z6),z7)

→

if3^#(z0,z1,s(z2),s(z3),edge(z4,z5,z6),z7)

(100)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(true,z1,s(z2),s(z3),edge(z4,z5,z6),z7)

→

if4^#(z1,s(z2),s(z3),edge(z4,z5,z6),z7)

(101)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if2^#(false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if3^#(false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(102)
if2^#(false,true,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if3^#(true,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(103)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(false,x0,0,s(x1),edge(x2,x3,edge(y_1,y_2,y_3)),x5)

→

reach^#(0,s(x1),edge(y_1,y_2,y_3),edge(x2,x3,x5))

(104)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if1^#(false,false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if2^#(false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(105)
if1^#(false,false,true,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if2^#(false,true,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(106)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

reach^#(0,s(y0),edge(0,y2,y3),y4)	→	if1^#(false,false,true,eq(s(y0),y2),0,s(y0),edge(0,y2,y3),y4)	(107)
reach^#(0,s(y0),edge(s(x0),y2,y3),y4)	→	if1^#(false,false,false,eq(s(y0),y2),0,s(y0),edge(s(x0),y2,y3),y4)	(108)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if1^#(false,false,true,y_0,0,s(z0),edge(0,z1,z2),z3)

→

if2^#(false,true,y_0,0,s(z0),edge(0,z1,z2),z3)

(109)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if2^#(false,true,z0,0,s(z1),edge(0,z2,z3),z4)

→

if3^#(true,z0,0,s(z1),edge(0,z2,z3),z4)

(110)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(true,z0,0,s(z1),edge(0,z2,z3),z4)

→

if4^#(z0,0,s(z1),edge(0,z2,z3),z4)

(111)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,0,s(z1),edge(0,z2,z3),z4)

→

reach^#(0,s(z1),z3,z4)

(112)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,0,s(z1),edge(0,z2,empty),z4)

→

reach^#(z2,s(z1),z4,empty)

(113)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,0,s(z1),edge(0,z2,edge(x3,x4,x5)),z4)

→

reach^#(z2,s(z1),edge(x3,x4,union(x5,z4)),empty)

(114)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,x3,edge(y_2,y_3,y_4)),x5)

→

reach^#(s(x0),s(x1),edge(y_2,y_3,y_4),x5)

(115)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(false,x0,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_2,y_3,y_4)),x6)

→

reach^#(s(x1),s(x2),edge(y_2,y_3,y_4),edge(x3,x4,x6))

(116)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,s(y_0),empty),edge(y_2,y_3,y_4))	→	reach^#(s(y_0),s(x1),edge(y_2,y_3,y_4),empty)	(117)
if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,0,empty),edge(0,y_1,y_2))	→	reach^#(0,s(x1),edge(0,y_1,y_2),empty)	(118)
if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,0,empty),edge(s(y_1),y_2,y_3))	→	reach^#(0,s(x1),edge(s(y_1),y_2,y_3),empty)	(119)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if2^#(false,true,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,x6),x7)	→	if3^#(true,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,x6),x7)	(120)
if2^#(false,false,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,edge(y_5,y_6,y_7)),x7)	→	if3^#(false,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,edge(y_5,y_6,y_7)),x7)	(121)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(true,false,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	→	if4^#(false,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	(122)
if3^#(true,false,s(x1),s(x2),edge(x3,s(y_3),empty),edge(y_4,y_5,y_6))	→	if4^#(false,s(x1),s(x2),edge(x3,s(y_3),empty),edge(y_4,y_5,y_6))	(123)
if3^#(true,false,s(x1),s(x2),edge(x3,0,empty),edge(0,y_3,y_4))	→	if4^#(false,s(x1),s(x2),edge(x3,0,empty),edge(0,y_3,y_4))	(124)
if3^#(true,false,s(x1),s(x2),edge(x3,0,empty),edge(s(y_3),y_4,y_5))	→	if4^#(false,s(x1),s(x2),edge(x3,0,empty),edge(s(y_3),y_4,y_5))	(125)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(true,false,0,s(x1),edge(0,x2,x3),x4)	→	if4^#(false,0,s(x1),edge(0,x2,x3),x4)	(126)
if3^#(true,false,0,s(x1),edge(0,x2,empty),x4)	→	if4^#(false,0,s(x1),edge(0,x2,empty),x4)	(127)
if3^#(true,false,0,s(x1),edge(0,x2,edge(y_2,y_3,y_4)),x4)	→	if4^#(false,0,s(x1),edge(0,x2,edge(y_2,y_3,y_4)),x4)	(128)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,0,s(x0),edge(0,x1,edge(0,y_1,y_2)),x3)	→	reach^#(0,s(x0),edge(0,y_1,y_2),x3)	(129)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,x1,edge(s(y_1),y_2,y_3)),x3)	→	reach^#(0,s(x0),edge(s(y_1),y_2,y_3),x3)	(130)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,0,s(x0),edge(0,s(y_0),empty),edge(y_2,y_3,y_4))	→	reach^#(s(y_0),s(x0),edge(y_2,y_3,y_4),empty)	(131)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,0,empty),edge(0,y_1,y_2))	→	reach^#(0,s(x0),edge(0,y_1,y_2),empty)	(132)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,0,empty),edge(s(y_1),y_2,y_3))	→	reach^#(0,s(x0),edge(s(y_1),y_2,y_3),empty)	(133)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Reduction Pair Processor with Usable Rules

Using the linear polynomial interpretation over the naturals

[reach^#(x₁,...,x₄)]	=	1 · x₃ + 1 · x₄
[s(x₁)]	=	1
[edge(x₁, x₂, x₃)]	=	1 · x₂ + 1 · x₃
[if1^#(x₁,...,x₈)]	=	1 · x₇ + 1 · x₈
[eq(x₁, x₂)]	=	0
[false]	=	0
[if4^#(x₁,...,x₅)]	=	1 · x₄ + 1 · x₅
[union(x₁, x₂)]	=	1 · x₁ + 1 · x₂
[empty]	=	0
[if2^#(x₁,...,x₇)]	=	1 · x₆ + 1 · x₇
[0]	=	0
[if3^#(x₁,...,x₆)]	=	1 · x₅ + 1 · x₆
[true]	=	0

together with the usable rules

union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)

(w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pairs

if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,s(y_0),empty),edge(y_2,y_3,y_4))	→	reach^#(s(y_0),s(x1),edge(y_2,y_3,y_4),empty)	(117)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,s(y_0),empty),edge(y_2,y_3,y_4))	→	reach^#(s(y_0),s(x0),edge(y_2,y_3,y_4),empty)	(131)

could be deleted.

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if1^#(false,false,y_1,y_2,s(z0),s(z1),edge(z2,z3,z4),z5)	→	if2^#(false,y_1,y_2,s(z0),s(z1),edge(z2,z3,z4),z5)	(99)
if2^#(false,true,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,x6),x7)	→	if3^#(true,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,x6),x7)	(120)
if3^#(true,false,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	→	if4^#(false,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	(122)
if4^#(false,s(y0),s(y1),edge(y2,y3,edge(x0,x1,x2)),x3)	→	reach^#(y3,s(y1),edge(x0,x1,union(x2,x3)),empty)	(98)
reach^#(s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	if1^#(eq(y0,y1),false,eq(s(y0),x0),eq(s(y1),x1),s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	(88)
reach^#(0,s(y0),edge(0,y2,y3),y4)	→	if1^#(false,false,true,eq(s(y0),y2),0,s(y0),edge(0,y2,y3),y4)	(107)
if1^#(false,false,true,y_0,0,s(z0),edge(0,z1,z2),z3)	→	if2^#(false,true,y_0,0,s(z0),edge(0,z1,z2),z3)	(109)
if2^#(false,true,z0,0,s(z1),edge(0,z2,z3),z4)	→	if3^#(true,z0,0,s(z1),edge(0,z2,z3),z4)	(110)
if3^#(true,false,0,s(x1),edge(0,x2,x3),x4)	→	if4^#(false,0,s(x1),edge(0,x2,x3),x4)	(126)
if4^#(false,0,s(z1),edge(0,z2,edge(x3,x4,x5)),z4)	→	reach^#(z2,s(z1),edge(x3,x4,union(x5,z4)),empty)	(114)
reach^#(0,s(y0),edge(s(x0),y2,y3),y4)	→	if1^#(false,false,false,eq(s(y0),y2),0,s(y0),edge(s(x0),y2,y3),y4)	(108)
if1^#(false,false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if2^#(false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(105)
if2^#(false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if3^#(false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(102)
if3^#(false,x0,0,s(x1),edge(x2,x3,edge(y_1,y_2,y_3)),x5)	→	reach^#(0,s(x1),edge(y_1,y_2,y_3),edge(x2,x3,x5))	(104)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,x1,edge(0,y_1,y_2)),x3)	→	reach^#(0,s(x0),edge(0,y_1,y_2),x3)	(129)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,x1,edge(s(y_1),y_2,y_3)),x3)	→	reach^#(0,s(x0),edge(s(y_1),y_2,y_3),x3)	(130)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,0,empty),edge(0,y_1,y_2))	→	reach^#(0,s(x0),edge(0,y_1,y_2),empty)	(132)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,0,empty),edge(s(y_1),y_2,y_3))	→	reach^#(0,s(x0),edge(s(y_1),y_2,y_3),empty)	(133)
if3^#(true,false,0,s(x1),edge(0,x2,empty),x4)	→	if4^#(false,0,s(x1),edge(0,x2,empty),x4)	(127)
if3^#(true,false,0,s(x1),edge(0,x2,edge(y_2,y_3,y_4)),x4)	→	if4^#(false,0,s(x1),edge(0,x2,edge(y_2,y_3,y_4)),x4)	(128)
if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,x3,edge(y_2,y_3,y_4)),x5)	→	reach^#(s(x0),s(x1),edge(y_2,y_3,y_4),x5)	(115)
if3^#(true,false,s(x1),s(x2),edge(x3,0,empty),edge(0,y_3,y_4))	→	if4^#(false,s(x1),s(x2),edge(x3,0,empty),edge(0,y_3,y_4))	(124)
if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,0,empty),edge(0,y_1,y_2))	→	reach^#(0,s(x1),edge(0,y_1,y_2),empty)	(118)
if3^#(true,false,s(x1),s(x2),edge(x3,0,empty),edge(s(y_3),y_4,y_5))	→	if4^#(false,s(x1),s(x2),edge(x3,0,empty),edge(s(y_3),y_4,y_5))	(125)
if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,0,empty),edge(s(y_1),y_2,y_3))	→	reach^#(0,s(x1),edge(s(y_1),y_2,y_3),empty)	(119)
if2^#(false,false,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,edge(y_5,y_6,y_7)),x7)	→	if3^#(false,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,edge(y_5,y_6,y_7)),x7)	(121)
if3^#(false,x0,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_2,y_3,y_4)),x6)	→	reach^#(s(x1),s(x2),edge(y_2,y_3,y_4),edge(x3,x4,x6))	(116)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Reduction Pair Processor with Usable Rules

Using the linear polynomial interpretation over the naturals

[if1^#(x₁,...,x₈)]	=	1 · x₅ + 1 · x₇ + 1 · x₈
[false]	=	0
[s(x₁)]	=	1
[edge(x₁, x₂, x₃)]	=	1 · x₂ + 1 · x₃
[if2^#(x₁,...,x₇)]	=	1 · x₄ + 1 · x₆ + 1 · x₇
[true]	=	0
[if3^#(x₁,...,x₆)]	=	1 · x₃ + 1 · x₅ + 1 · x₆
[if4^#(x₁,...,x₅)]	=	1 · x₂ + 1 · x₄ + 1 · x₅
[reach^#(x₁,...,x₄)]	=	1 · x₁ + 1 · x₃ + 1 · x₄
[union(x₁, x₂)]	=	1 · x₁ + 1 · x₂
[empty]	=	0
[eq(x₁, x₂)]	=	0
[0]	=	0

together with the usable rules

union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)

(w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pairs

if4^#(false,s(y0),s(y1),edge(y2,y3,edge(x0,x1,x2)),x3)	→	reach^#(y3,s(y1),edge(x0,x1,union(x2,x3)),empty)	(98)
if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,0,empty),edge(0,y_1,y_2))	→	reach^#(0,s(x1),edge(0,y_1,y_2),empty)	(118)
if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,0,empty),edge(s(y_1),y_2,y_3))	→	reach^#(0,s(x1),edge(s(y_1),y_2,y_3),empty)	(119)

could be deleted.

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 2 components.

The 1^st component contains the pair

reach^#(0,s(y0),edge(0,y2,y3),y4)	→	if1^#(false,false,true,eq(s(y0),y2),0,s(y0),edge(0,y2,y3),y4)	(107)
if1^#(false,false,true,y_0,0,s(z0),edge(0,z1,z2),z3)	→	if2^#(false,true,y_0,0,s(z0),edge(0,z1,z2),z3)	(109)
if2^#(false,true,z0,0,s(z1),edge(0,z2,z3),z4)	→	if3^#(true,z0,0,s(z1),edge(0,z2,z3),z4)	(110)
if3^#(true,false,0,s(x1),edge(0,x2,x3),x4)	→	if4^#(false,0,s(x1),edge(0,x2,x3),x4)	(126)
if4^#(false,0,s(z1),edge(0,z2,edge(x3,x4,x5)),z4)	→	reach^#(z2,s(z1),edge(x3,x4,union(x5,z4)),empty)	(114)
reach^#(0,s(y0),edge(s(x0),y2,y3),y4)	→	if1^#(false,false,false,eq(s(y0),y2),0,s(y0),edge(s(x0),y2,y3),y4)	(108)
if1^#(false,false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if2^#(false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(105)
if2^#(false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if3^#(false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(102)
if3^#(false,x0,0,s(x1),edge(x2,x3,edge(y_1,y_2,y_3)),x5)	→	reach^#(0,s(x1),edge(y_1,y_2,y_3),edge(x2,x3,x5))	(104)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,x1,edge(0,y_1,y_2)),x3)	→	reach^#(0,s(x0),edge(0,y_1,y_2),x3)	(129)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,x1,edge(s(y_1),y_2,y_3)),x3)	→	reach^#(0,s(x0),edge(s(y_1),y_2,y_3),x3)	(130)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,0,empty),edge(0,y_1,y_2))	→	reach^#(0,s(x0),edge(0,y_1,y_2),empty)	(132)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,0,empty),edge(s(y_1),y_2,y_3))	→	reach^#(0,s(x0),edge(s(y_1),y_2,y_3),empty)	(133)
if3^#(true,false,0,s(x1),edge(0,x2,empty),x4)	→	if4^#(false,0,s(x1),edge(0,x2,empty),x4)	(127)
if3^#(true,false,0,s(x1),edge(0,x2,edge(y_2,y_3,y_4)),x4)	→	if4^#(false,0,s(x1),edge(0,x2,edge(y_2,y_3,y_4)),x4)	(128)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Reduction Pair Processor with Usable Rules

Using the linear polynomial interpretation over the naturals

[if1^#(x₁,...,x₈)]	=	-2 + x₃ + 2 · x₇ + x₈
[eq(x₁, x₂)]	=	-2
[s(x₁)]	=	0
[0]	=	1
[false]	=	2
[reach^#(x₁,...,x₄)]	=	x₄
[edge(x₁, x₂, x₃)]	=	x₁
[union(x₁, x₂)]	=	1
[empty]	=	0
[true]	=	0
[if2^#(x₁,...,x₇)]	=	-2 + x₂ + 2 · x₆ + x₇
[if3^#(x₁,...,x₆)]	=	-2 + x₁ + 2 · x₅ + x₆
[if4^#(x₁,...,x₅)]	=	x₅

having no usable rules (w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pair

if4^#(false,0,s(x0),edge(0,0,empty),edge(0,y_1,y_2))

→

reach^#(0,s(x0),edge(0,y_1,y_2),empty)

(132)

could be deleted.

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Reduction Pair Processor with Usable Rules

Using the linear polynomial interpretation over the naturals

[if1^#(x₁,...,x₈)]	=	-2 + 2 · x₃ + 2 · x₇ + 2 · x₈
[eq(x₁, x₂)]	=	-2
[s(x₁)]	=	2
[0]	=	2
[false]	=	2
[reach^#(x₁,...,x₄)]	=	-2 + 2 · x₂ + 2 · x₃ + 2 · x₄
[edge(x₁, x₂, x₃)]	=	2 + 2 · x₁ + x₃
[union(x₁, x₂)]	=	2 + x₁ + x₂
[empty]	=	2
[true]	=	2
[if2^#(x₁,...,x₇)]	=	x₅ + 2 · x₆ + 2 · x₇
[if3^#(x₁,...,x₆)]	=	-2 + 2 · x₃ + 2 · x₅ + 2 · x₆
[if4^#(x₁,...,x₅)]	=	-2 + x₂ + x₃ + 2 · x₄ + 2 · x₅

together with the usable rules

union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)

(w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pairs

if4^#(false,0,s(z1),edge(0,z2,edge(x3,x4,x5)),z4)	→	reach^#(z2,s(z1),edge(x3,x4,union(x5,z4)),empty)	(114)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,x1,edge(0,y_1,y_2)),x3)	→	reach^#(0,s(x0),edge(0,y_1,y_2),x3)	(129)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,x1,edge(s(y_1),y_2,y_3)),x3)	→	reach^#(0,s(x0),edge(s(y_1),y_2,y_3),x3)	(130)
if4^#(false,0,s(x0),edge(0,0,empty),edge(s(y_1),y_2,y_3))	→	reach^#(0,s(x0),edge(s(y_1),y_2,y_3),empty)	(133)

could be deleted.

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

reach^#(0,s(y0),edge(s(x0),y2,y3),y4)	→	if1^#(false,false,false,eq(s(y0),y2),0,s(y0),edge(s(x0),y2,y3),y4)	(108)
if1^#(false,false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if2^#(false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(105)
if2^#(false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if3^#(false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(102)
if3^#(false,x0,0,s(x1),edge(x2,x3,edge(y_1,y_2,y_3)),x5)	→	reach^#(0,s(x1),edge(y_1,y_2,y_3),edge(x2,x3,x5))	(104)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Size-Change Termination

Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.

if1^#(false,false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if2^#(false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(105)

1	≥	1
2	≥	1
3	≥	1
1	≥	2
2	≥	2
3	≥	2
4	≥	3
5	≥	4
6	≥	5
7	≥	6
8	≥	7
if3^#(false,x0,0,s(x1),edge(x2,x3,edge(y_1,y_2,y_3)),x5)	→	reach^#(0,s(x1),edge(y_1,y_2,y_3),edge(x2,x3,x5))	(104)

3	≥	1
4	≥	2
5	>	3
if2^#(false,false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	→	if3^#(false,x1,0,s(x2),edge(x3,x4,x5),x6)	(102)

1	≥	1
2	≥	1
3	≥	2
4	≥	3
5	≥	4
6	≥	5
7	≥	6
reach^#(0,s(y0),edge(s(x0),y2,y3),y4)	→	if1^#(false,false,false,eq(s(y0),y2),0,s(y0),edge(s(x0),y2,y3),y4)	(108)

1	≥	5
2	≥	6
3	≥	7
4	≥	8

As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.

The 2^nd component contains the pair

if2^#(false,true,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,x6),x7)	→	if3^#(true,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,x6),x7)	(120)
if3^#(true,false,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	→	if4^#(false,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	(122)
if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,x3,edge(y_2,y_3,y_4)),x5)	→	reach^#(s(x0),s(x1),edge(y_2,y_3,y_4),x5)	(115)
reach^#(s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	if1^#(eq(y0,y1),false,eq(s(y0),x0),eq(s(y1),x1),s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	(88)
if1^#(false,false,y_1,y_2,s(z0),s(z1),edge(z2,z3,z4),z5)	→	if2^#(false,y_1,y_2,s(z0),s(z1),edge(z2,z3,z4),z5)	(99)
if2^#(false,false,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,edge(y_5,y_6,y_7)),x7)	→	if3^#(false,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,edge(y_5,y_6,y_7)),x7)	(121)
if3^#(false,x0,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_2,y_3,y_4)),x6)	→	reach^#(s(x1),s(x2),edge(y_2,y_3,y_4),edge(x3,x4,x6))	(116)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)
eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1 Size-Change Termination

Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.

if3^#(true,false,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	→	if4^#(false,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	(122)

2	≥	1
3	≥	2
4	≥	3
5	≥	4
6	≥	5
if1^#(false,false,y_1,y_2,s(z0),s(z1),edge(z2,z3,z4),z5)	→	if2^#(false,y_1,y_2,s(z0),s(z1),edge(z2,z3,z4),z5)	(99)

1	≥	1
2	≥	1
3	≥	2
4	≥	3
5	≥	4
6	≥	5
7	≥	6
8	≥	7
if4^#(false,s(x0),s(x1),edge(x2,x3,edge(y_2,y_3,y_4)),x5)	→	reach^#(s(x0),s(x1),edge(y_2,y_3,y_4),x5)	(115)

2	≥	1
3	≥	2
4	>	3
5	≥	4
if2^#(false,true,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,x6),x7)	→	if3^#(true,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,x6),x7)	(120)

2	≥	1
3	≥	2
4	≥	3
5	≥	4
6	≥	5
7	≥	6
reach^#(s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	→	if1^#(eq(y0,y1),false,eq(s(y0),x0),eq(s(y1),x1),s(y0),s(y1),edge(x0,x1,x2),y3)	(88)

1	≥	5
2	≥	6
3	≥	7
4	≥	8
if3^#(false,x0,s(x1),s(x2),edge(x3,x4,edge(y_2,y_3,y_4)),x6)	→	reach^#(s(x1),s(x2),edge(y_2,y_3,y_4),edge(x3,x4,x6))	(116)

3	≥	1
4	≥	2
5	>	3
if2^#(false,false,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,edge(y_5,y_6,y_7)),x7)	→	if3^#(false,x1,s(x2),s(x3),edge(x4,x5,edge(y_5,y_6,y_7)),x7)	(121)

1	≥	1
2	≥	1
3	≥	2
4	≥	3
5	≥	4
6	≥	5
7	≥	6

As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.

The 2^nd component contains the pair

if1^#(false,y_0,y_2,y_4,s(z0),0,z1,z2)	→	if2^#(y_0,y_2,y_4,s(z0),0,z1,z2)	(53)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),0,z4,z5)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),0,z4,z5)	(56)
if3^#(false,z1,s(z2),0,z3,z4)	→	reach^#(s(z2),0,rest(z3),edge(from(z3),to(z3),z4))	(59)
reach^#(s(x0),0,y2,y3)	→	if1^#(false,isEmpty(y2),eq(s(x0),from(y2)),eq(0,to(y2)),s(x0),0,y2,y3)	(48)
if3^#(true,z1,s(z2),0,z3,z4)	→	if4^#(z1,s(z2),0,z3,z4)	(62)
if4^#(false,s(z1),0,z2,z3)	→	reach^#(s(z1),0,rest(z2),z3)	(65)
if4^#(false,s(z1),0,edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,0,union(x4,z3),empty)	(68)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if1^#(false,false,x1,x2,s(x3),0,x4,x5)

→

if2^#(false,x1,x2,s(x3),0,x4,x5)

(134)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 2 to get the following set of pairs

reach^#(s(y0),0,empty,y2)	→	if1^#(false,true,eq(s(y0),from(empty)),eq(0,to(empty)),s(y0),0,empty,y2)	(135)
reach^#(s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(s(y0),from(edge(x0,x1,x2))),eq(0,to(edge(x0,x1,x2))),s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	(136)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if3^#(false,z1,s(z2),0,z3,z4)	→	reach^#(s(z2),0,rest(z3),edge(from(z3),to(z3),z4))	(59)
reach^#(s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(s(y0),from(edge(x0,x1,x2))),eq(0,to(edge(x0,x1,x2))),s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	(136)
if1^#(false,false,x1,x2,s(x3),0,x4,x5)	→	if2^#(false,x1,x2,s(x3),0,x4,x5)	(134)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),0,z4,z5)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),0,z4,z5)	(56)
if3^#(true,z1,s(z2),0,z3,z4)	→	if4^#(z1,s(z2),0,z3,z4)	(62)
if4^#(false,s(z1),0,z2,z3)	→	reach^#(s(z1),0,rest(z2),z3)	(65)
if4^#(false,s(z1),0,edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,0,union(x4,z3),empty)	(68)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)
rest(edge(x,y,i))	→	i	(13)
rest(empty)	→	empty	(14)
from(edge(x,y,i))	→	x	(11)
eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)
to(edge(x,y,i))	→	y	(12)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

union(empty,x0)

union(edge(x0,x1,x2),x3)

from(edge(x0,x1,x2))

to(edge(x0,x1,x2))

rest(edge(x0,x1,x2))

rest(empty)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

if3^#(false,y0,s(y1),0,edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(s(y1),0,x2,edge(from(edge(x0,x1,x2)),to(edge(x0,x1,x2)),y3))	(139)
if3^#(false,y0,s(y1),0,empty,y3)	→	reach^#(s(y1),0,empty,edge(from(empty),to(empty),y3))	(140)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if2^#(false,z1,z2,s(z3),0,z4,z5)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),0,z4,z5)	(56)
if3^#(true,z1,s(z2),0,z3,z4)	→	if4^#(z1,s(z2),0,z3,z4)	(62)
if4^#(false,s(z1),0,z2,z3)	→	reach^#(s(z1),0,rest(z2),z3)	(65)
reach^#(s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(s(y0),x0),eq(0,x1),s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	(138)
if1^#(false,false,x1,x2,s(x3),0,x4,x5)	→	if2^#(false,x1,x2,s(x3),0,x4,x5)	(134)
if4^#(false,s(z1),0,edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,0,union(x4,z3),empty)	(68)
if3^#(false,y0,s(y1),0,edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(s(y1),0,x2,edge(from(edge(x0,x1,x2)),to(edge(x0,x1,x2)),y3))	(139)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

to(edge(x,y,i))	→	y	(12)
union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)
eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)
rest(edge(x,y,i))	→	i	(13)
rest(empty)	→	empty	(14)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

union(empty,x0)

union(edge(x0,x1,x2),x3)

to(edge(x0,x1,x2))

rest(edge(x0,x1,x2))

rest(empty)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)
eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)
rest(edge(x,y,i))	→	i	(13)
rest(empty)	→	empty	(14)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

union(empty,x0)

union(edge(x0,x1,x2),x3)

rest(edge(x0,x1,x2))

rest(empty)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

if4^#(false,s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	→	reach^#(s(y0),0,x2,y2)	(143)
if4^#(false,s(y0),0,empty,y2)	→	reach^#(s(y0),0,empty,y2)	(144)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if3^#(true,z1,s(z2),0,z3,z4)	→	if4^#(z1,s(z2),0,z3,z4)	(62)
if4^#(false,s(z1),0,edge(x2,x3,x4),z3)	→	reach^#(x3,0,union(x4,z3),empty)	(68)
reach^#(s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(s(y0),x0),eq(0,x1),s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	(138)
if1^#(false,false,x1,x2,s(x3),0,x4,x5)	→	if2^#(false,x1,x2,s(x3),0,x4,x5)	(134)
if2^#(false,z1,z2,s(z3),0,z4,z5)	→	if3^#(z1,z2,s(z3),0,z4,z5)	(56)
if3^#(false,y0,s(y1),0,edge(x0,x1,x2),y3)	→	reach^#(s(y1),0,x2,edge(x0,x1,y3))	(142)
if4^#(false,s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	→	reach^#(s(y0),0,x2,y2)	(143)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)
union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

union(empty,x0)

union(edge(x0,x1,x2),x3)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

if4^#(false,s(y0),0,edge(y1,y2,empty),x0)	→	reach^#(y2,0,x0,empty)	(145)
if4^#(false,s(y0),0,edge(y1,y2,edge(x0,x1,x2)),x3)	→	reach^#(y2,0,edge(x0,x1,union(x2,x3)),empty)	(146)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if1^#(false,false,y_0,y_1,s(z0),0,edge(z1,z2,z3),z4)

→

if2^#(false,y_0,y_1,s(z0),0,edge(z1,z2,z3),z4)

(147)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if2^#(false,z0,z1,s(z2),0,edge(z3,z4,z5),z6)

→

if3^#(z0,z1,s(z2),0,edge(z3,z4,z5),z6)

(148)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(true,z1,s(z2),0,edge(z3,z4,z5),z6)

→

if4^#(z1,s(z2),0,edge(z3,z4,z5),z6)

(149)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(false,x0,s(x1),0,edge(x2,x3,edge(y_1,y_2,y_3)),x5)

→

reach^#(s(x1),0,edge(y_1,y_2,y_3),edge(x2,x3,x5))

(150)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,s(x0),0,edge(x1,x2,edge(y_1,y_2,y_3)),x4)

→

reach^#(s(x0),0,edge(y_1,y_2,y_3),x4)

(151)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if4^#(false,s(x0),0,edge(x1,s(y_0),empty),edge(y_1,y_2,y_3))

→

reach^#(s(y_0),0,edge(y_1,y_2,y_3),empty)

(152)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if2^#(false,true,x1,s(x2),0,edge(x3,x4,x5),x6)	→	if3^#(true,x1,s(x2),0,edge(x3,x4,x5),x6)	(153)
if2^#(false,false,x1,s(x2),0,edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	→	if3^#(false,x1,s(x2),0,edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	(154)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

if3^#(true,false,s(x1),0,edge(x2,x3,edge(y_3,y_4,y_5)),x5)	→	if4^#(false,s(x1),0,edge(x2,x3,edge(y_3,y_4,y_5)),x5)	(155)
if3^#(true,false,s(x1),0,edge(x2,s(y_2),empty),edge(y_3,y_4,y_5))	→	if4^#(false,s(x1),0,edge(x2,s(y_2),empty),edge(y_3,y_4,y_5))	(156)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Reduction Pair Processor with Usable Rules

Using the linear polynomial interpretation over the naturals

[if1^#(x₁,...,x₈)]	=	2 + 2 · x₅ + 2 · x₆ + x₇ + x₈
[eq(x₁, x₂)]	=	-2
[s(x₁)]	=	2
[0]	=	2
[false]	=	2
[true]	=	2
[reach^#(x₁,...,x₄)]	=	2 + 2 · x₁ + 2 · x₂ + x₃ + x₄
[edge(x₁, x₂, x₃)]	=	1 + 2 · x₁ + 2 · x₂ + x₃
[union(x₁, x₂)]	=	x₁ + x₂
[empty]	=	0
[if4^#(x₁,...,x₅)]	=	2 + 2 · x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅
[if2^#(x₁,...,x₇)]	=	-2 + 2 · x₁ + 2 · x₄ + 2 · x₅ + x₆ + x₇
[if3^#(x₁,...,x₆)]	=	x₁ + 2 · x₃ + 2 · x₄ + x₅ + x₆

together with the usable rules

union(empty,h)	→	h	(7)
union(edge(x,y,i),h)	→	edge(x,y,union(i,h))	(8)

(w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pairs

if4^#(false,s(y0),0,edge(y1,y2,edge(x0,x1,x2)),x3)	→	reach^#(y2,0,edge(x0,x1,union(x2,x3)),empty)	(146)
if4^#(false,s(x0),0,edge(x1,x2,edge(y_1,y_2,y_3)),x4)	→	reach^#(s(x0),0,edge(y_1,y_2,y_3),x4)	(151)
if4^#(false,s(x0),0,edge(x1,s(y_0),empty),edge(y_1,y_2,y_3))	→	reach^#(s(y_0),0,edge(y_1,y_2,y_3),empty)	(152)

could be deleted.

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

if1^#(false,false,y_0,y_1,s(z0),0,edge(z1,z2,z3),z4)	→	if2^#(false,y_0,y_1,s(z0),0,edge(z1,z2,z3),z4)	(147)
if2^#(false,false,x1,s(x2),0,edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	→	if3^#(false,x1,s(x2),0,edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	(154)
if3^#(false,x0,s(x1),0,edge(x2,x3,edge(y_1,y_2,y_3)),x5)	→	reach^#(s(x1),0,edge(y_1,y_2,y_3),edge(x2,x3,x5))	(150)
reach^#(s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(s(y0),x0),eq(0,x1),s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	(138)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

eq(s(x),0)	→	false	(3)
eq(s(x),s(y))	→	eq(x,y)	(4)
eq(0,0)	→	true	(1)
eq(0,s(x))	→	false	(2)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

eq(0,0)

eq(0,s(x0))

eq(s(x0),0)

eq(s(x0),s(x1))

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Size-Change Termination

Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.

if2^#(false,false,x1,s(x2),0,edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	→	if3^#(false,x1,s(x2),0,edge(x3,x4,edge(y_4,y_5,y_6)),x6)	(154)

1	≥	1
2	≥	1
3	≥	2
4	≥	3
5	≥	4
6	≥	5
7	≥	6
reach^#(s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	→	if1^#(false,false,eq(s(y0),x0),eq(0,x1),s(y0),0,edge(x0,x1,x2),y2)	(138)

1	≥	5
2	≥	6
3	≥	7
4	≥	8
if3^#(false,x0,s(x1),0,edge(x2,x3,edge(y_1,y_2,y_3)),x5)	→	reach^#(s(x1),0,edge(y_1,y_2,y_3),edge(x2,x3,x5))	(150)

3	≥	1
4	≥	2
5	>	3
if1^#(false,false,y_0,y_1,s(z0),0,edge(z1,z2,z3),z4)	→	if2^#(false,y_0,y_1,s(z0),0,edge(z1,z2,z3),z4)	(147)

1	≥	1
2	≥	1
3	≥	2
4	≥	3
5	≥	4
6	≥	5
7	≥	6
8	≥	7

As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.

The 2^nd component contains the pair
eq^#(s(x),s(y)) → eq^#(x,y) (24)

1.1.1.2 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

There are no rules.

1.1.1.2.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

There are no lhss.

1.1.1.2.1.1 Size-Change Termination

Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.

eq^#(s(x),s(y)) → eq^#(x,y) (24)

1 > 1

2 > 2

As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.
The 3^rd component contains the pair
union^#(edge(x,y,i),h) → union^#(i,h) (25)

1.1.1.3 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

There are no rules.

1.1.1.3.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

There are no lhss.

1.1.1.3.1.1 Size-Change Termination

Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.

union^#(edge(x,y,i),h) → union^#(i,h) (25)

1 > 1

2 ≥ 2

As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.