Certification Problem

Input (TPDB TRS_Standard/AProVE_07/thiemann06)

The rewrite relation of the following TRS is considered.

Property / Task

Answer / Result

Proof (by AProVE @ termCOMP 2023)

1 Switch to Innermost Termination

The TRS is overlay and locally confluent:

Hence, it suffices to show innermost termination in the following.

1.1 Dependency Pair Transformation

1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 2 components.

• The 1^st component contains the pair

  average#(x,y)	→	if#(le(x,0),le(y,0),le(y,s(0)),le(y,s(s(0))),x,y)	(16)
  if#(true,b1,b2,b3,x,y)	→	if2#(b1,b2,b3,x,y)	(21)
  if2#(false,b2,b3,x,y)	→	if3#(b2,b3,x,y)	(24)
  if3#(false,b3,x,y)	→	if4#(b3,x,y)	(25)
  if4#(false,x,y)	→	average#(s(x),p(p(y)))	(26)
  if#(false,b1,b2,b3,x,y)	→	average#(p(x),s(y))	(22)

  1.1.1.1 Usable Rules Processor

  We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

  p(s(x))	→	x	(1)
  p(0)	→	0	(2)
  le(0,y)	→	true	(3)
  le(s(x),0)	→	false	(4)
  le(s(x),s(y))	→	le(x,y)	(5)

  1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

  We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

  p(s(x0))

  p(0)

  le(0,x0)

  le(s(x0),0)

  le(s(x0),s(x1))

  1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

  We consider all narrowings of the pair below position 1 to get the following set of pairs

  average#(0,y1)	→	if#(true,le(y1,0),le(y1,s(0)),le(y1,s(s(0))),0,y1)	(29)
  average#(s(x0),y1)	→	if#(false,le(y1,0),le(y1,s(0)),le(y1,s(s(0))),s(x0),y1)	(30)

  1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

  We consider all narrowings of the pair below position 1 to get the following set of pairs

  if#(false,y0,y1,y2,s(x0),y4)	→	average#(x0,s(y4))	(31)
  if#(false,y0,y1,y2,0,y4)	→	average#(0,s(y4))	(32)

  1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

  The dependency pairs are split into 1 component.

  • The 1^st component contains the pair

    if2#(false,b2,b3,x,y)	→	if3#(b2,b3,x,y)	(24)
    if3#(false,b3,x,y)	→	if4#(b3,x,y)	(25)
    if4#(false,x,y)	→	average#(s(x),p(p(y)))	(26)
    average#(s(x0),y1)	→	if#(false,le(y1,0),le(y1,s(0)),le(y1,s(s(0))),s(x0),y1)	(30)
    if#(false,y0,y1,y2,s(x0),y4)	→	average#(x0,s(y4))	(31)
    average#(0,y1)	→	if#(true,le(y1,0),le(y1,s(0)),le(y1,s(s(0))),0,y1)	(29)
    if#(true,b1,b2,b3,x,y)	→	if2#(b1,b2,b3,x,y)	(21)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    average#(0,s(z4))

    →

    if#(true,le(s(z4),0),le(s(z4),s(0)),le(s(z4),s(s(0))),0,s(z4))

    (33)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

    We rewrite the right hand side of the pair resulting in

    →

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

    We rewrite the right hand side of the pair resulting in

    →

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

    We rewrite the right hand side of the pair resulting in

    →

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    if#(true,false,y_0,y_1,0,s(z0))

    →

    if2#(false,y_0,y_1,0,s(z0))

    (37)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    if2#(false,z0,z1,0,s(z2))

    →

    if3#(z0,z1,0,s(z2))

    (38)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    if3#(false,z1,0,s(z2))

    →

    if4#(z1,0,s(z2))

    (39)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    if4#(false,0,s(z1))

    →

    average#(s(0),p(p(s(z1))))

    (40)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

    We rewrite the right hand side of the pair resulting in

    →

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    average#(s(x0),s(z4))	→	if#(false,le(s(z4),0),le(s(z4),s(0)),le(s(z4),s(s(0))),s(x0),s(z4))	(42)
    average#(s(0),y_0)	→	if#(false,le(y_0,0),le(y_0,s(0)),le(y_0,s(s(0))),s(0),y_0)	(43)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

    We rewrite the right hand side of the pair resulting in

    →

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

    We rewrite the right hand side of the pair resulting in

    →

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

    We rewrite the right hand side of the pair resulting in

    →

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    if#(false,y_0,y_1,y_2,s(0),z0)	→	average#(0,s(z0))	(47)
    if#(false,false,y_0,y_1,s(z0),s(z1))	→	average#(z0,s(s(z1)))	(48)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    average#(s(0),s(x1))	→	if#(false,false,le(x1,0),le(x1,s(0)),s(0),s(x1))	(49)
    average#(s(x0),s(s(z3)))	→	if#(false,false,le(s(z3),0),le(s(z3),s(0)),s(x0),s(s(z3)))	(50)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

    We rewrite the right hand side of the pair resulting in

    →

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

    We rewrite the right hand side of the pair resulting in

    →

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    if#(false,false,y_1,y_2,s(0),s(x3))	→	average#(0,s(s(x3)))	(53)
    if#(false,false,false,y_0,s(z0),s(s(z1)))	→	average#(z0,s(s(s(z1))))	(54)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    if2#(false,false,x1,0,s(x2))

    →

    if3#(false,x1,0,s(x2))

    (55)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

    We instantiate the pair to the following set of pairs

    if#(true,false,false,x1,0,s(x2))

    →

    if2#(false,false,x1,0,s(x2))

    (56)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

    We consider all narrowings of the pair below position 3 to get the following set of pairs

    average#(0,s(0))	→	if#(true,false,true,le(0,s(0)),0,s(0))	(57)
    average#(0,s(s(x0)))	→	if#(true,false,false,le(s(x0),s(0)),0,s(s(x0)))	(58)

    1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

    The dependency pairs are split into 1 component.

    • The 1^st component contains the pair

      if4#(false,0,s(z1))	→	average#(s(0),p(z1))	(41)
      average#(s(0),y_0)	→	if#(false,le(y_0,0),le(y_0,s(0)),le(y_0,s(s(0))),s(0),y_0)	(43)
      if#(false,y_0,y_1,y_2,s(0),z0)	→	average#(0,s(z0))	(47)
      average#(0,s(s(x0)))	→	if#(true,false,false,le(s(x0),s(0)),0,s(s(x0)))	(58)
      if#(true,false,false,x1,0,s(x2))	→	if2#(false,false,x1,0,s(x2))	(56)
      if2#(false,false,x1,0,s(x2))	→	if3#(false,x1,0,s(x2))	(55)
      if3#(false,z1,0,s(z2))	→	if4#(z1,0,s(z2))	(39)
      if#(false,false,y_1,y_2,s(0),s(x3))	→	average#(0,s(s(x3)))	(53)
      if#(false,false,false,y_0,s(z0),s(s(z1)))	→	average#(z0,s(s(s(z1))))	(54)
      average#(s(0),s(x1))	→	if#(false,false,le(x1,0),le(x1,s(0)),s(0),s(x1))	(49)
      average#(s(x0),s(s(z3)))	→	if#(false,false,false,le(z3,0),s(x0),s(s(z3)))	(52)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

      We rewrite the right hand side of the pair resulting in

      →

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

      We instantiate the pair to the following set of pairs

      if#(true,false,false,y_0,0,s(s(z0)))

      →

      if2#(false,false,y_0,0,s(s(z0)))

      (60)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

      We instantiate the pair to the following set of pairs

      if2#(false,false,z0,0,s(s(z1)))

      →

      if3#(false,z0,0,s(s(z1)))

      (61)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

      We instantiate the pair to the following set of pairs

      if3#(false,z0,0,s(s(z1)))

      →

      if4#(z0,0,s(s(z1)))

      (62)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

      We instantiate the pair to the following set of pairs

      if4#(false,0,s(s(z1)))

      →

      average#(s(0),p(s(z1)))

      (63)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

      We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

      p(s(x))	→	x	(1)
      le(0,y)	→	true	(3)
      le(s(x),0)	→	false	(4)
      le(s(x),s(y))	→	le(x,y)	(5)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

      We rewrite the right hand side of the pair resulting in

      →

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

      We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

      le(0,y)	→	true	(3)
      le(s(x),0)	→	false	(4)
      le(s(x),s(y))	→	le(x,y)	(5)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

      We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

      le(0,x0)

      le(s(x0),0)

      le(s(x0),s(x1))

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

      We instantiate the pair to the following set of pairs

      if#(false,x0,x1,x2,s(0),s(y_0))

      →

      average#(0,s(s(y_0)))

      (65)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

      We instantiate the pair to the following set of pairs

      average#(s(0),s(y_4))	→	if#(false,le(s(y_4),0),le(s(y_4),s(0)),le(s(y_4),s(s(0))),s(0),s(y_4))	(66)
      average#(s(0),s(s(y_5)))	→	if#(false,le(s(s(y_5)),0),le(s(s(y_5)),s(0)),le(s(s(y_5)),s(s(0))),s(0),s(s(y_5)))	(67)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

      We rewrite the right hand side of the pair resulting in

      →

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

      We rewrite the right hand side of the pair resulting in

      →

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

      We rewrite the right hand side of the pair resulting in

      →

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

      We rewrite the right hand side of the pair resulting in

      →

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

      We rewrite the right hand side of the pair resulting in

      →

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

      We rewrite the right hand side of the pair resulting in

      →

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

      We rewrite the right hand side of the pair resulting in

      →

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

      We rewrite the right hand side of the pair resulting in

      →

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

      We instantiate the pair to the following set of pairs

      if#(false,false,y_1,y_2,s(0),s(x3))	→	average#(0,s(s(x3)))	(53)
      if#(false,false,false,y_0,s(0),s(s(z1)))	→	average#(0,s(s(s(z1))))	(75)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

      We instantiate the pair to the following set of pairs

      if#(false,false,false,x0,s(s(0)),s(s(x2)))	→	average#(s(0),s(s(s(x2))))	(76)
      if#(false,false,false,x0,s(s(y_0)),s(s(x2)))	→	average#(s(y_0),s(s(s(x2))))	(77)
      if#(false,false,false,y_0,s(0),s(s(z1)))	→	average#(0,s(s(s(z1))))	(75)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

      We instantiate the pair to the following set of pairs

      average#(s(0),s(s(y_5)))	→	if#(false,false,false,le(y_5,0),s(0),s(s(y_5)))	(74)
      average#(s(s(0)),s(s(x1)))	→	if#(false,false,false,le(x1,0),s(s(0)),s(s(x1)))	(78)
      average#(s(s(y_4)),s(s(x1)))	→	if#(false,false,false,le(x1,0),s(s(y_4)),s(s(x1)))	(79)

      1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

      The dependency pairs are split into 2 components.

      • The 1^st component contains the pair

        if#(false,false,false,x0,s(s(y_0)),s(s(x2)))	→	average#(s(y_0),s(s(s(x2))))	(77)
        average#(s(s(0)),s(s(x1)))	→	if#(false,false,false,le(x1,0),s(s(0)),s(s(x1)))	(78)
        average#(s(s(y_4)),s(s(x1)))	→	if#(false,false,false,le(x1,0),s(s(y_4)),s(s(x1)))	(79)

        1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

        We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

        le(0,y)	→	true	(3)
        le(s(x),0)	→	false	(4)

        1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Size-Change Termination

        Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.

        if#(false,false,false,x0,s(s(y_0)),s(s(x2)))	→	average#(s(y_0),s(s(s(x2))))	(77)
        5	>	1
        average#(s(s(0)),s(s(x1)))	→	if#(false,false,false,le(x1,0),s(s(0)),s(s(x1)))	(78)
        1	≥	5
        2	≥	6
        average#(s(s(y_4)),s(s(x1)))	→	if#(false,false,false,le(x1,0),s(s(y_4)),s(s(x1)))	(79)
        1	≥	5
        2	≥	6

        As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.

      • The 2^nd component contains the pair

        average#(0,s(s(x0)))	→	if#(true,false,false,le(x0,0),0,s(s(x0)))	(59)
        if#(true,false,false,y_0,0,s(s(z0)))	→	if2#(false,false,y_0,0,s(s(z0)))	(60)
        if2#(false,false,z0,0,s(s(z1)))	→	if3#(false,z0,0,s(s(z1)))	(61)
        if3#(false,z0,0,s(s(z1)))	→	if4#(z0,0,s(s(z1)))	(62)
        if4#(false,0,s(s(z1)))	→	average#(s(0),z1)	(64)
        average#(s(0),s(x1))	→	if#(false,false,le(x1,0),le(x1,s(0)),s(0),s(x1))	(49)
        if#(false,false,y_1,y_2,s(0),s(x3))	→	average#(0,s(s(x3)))	(53)
        if#(false,false,false,y_0,s(0),s(s(z1)))	→	average#(0,s(s(s(z1))))	(75)
        average#(s(0),s(s(y_5)))	→	if#(false,false,false,le(y_5,0),s(0),s(s(y_5)))	(74)

        1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2 Forward Instantiation Processor

        We instantiate the pair to the following set of pairs

        if3#(false,false,0,s(s(x1)))

        →

        if4#(false,0,s(s(x1)))

        (80)

        1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1 Forward Instantiation Processor

        We instantiate the pair to the following set of pairs

        if2#(false,false,false,0,s(s(x1)))

        →

        if3#(false,false,0,s(s(x1)))

        (81)

        1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1 Forward Instantiation Processor

        We instantiate the pair to the following set of pairs

        if#(true,false,false,false,0,s(s(x1)))

        →

        if2#(false,false,false,0,s(s(x1)))

        (82)

        1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1 Narrowing Processor

        We consider all narrowings of the pair below position 4 to get the following set of pairs

        average#(0,s(s(0)))	→	if#(true,false,false,true,0,s(s(0)))	(83)
        average#(0,s(s(s(x0))))	→	if#(true,false,false,false,0,s(s(s(x0))))	(84)

        1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

        The dependency pairs are split into 1 component.

        • The 1^st component contains the pair

          average#(s(0),s(x1))	→	if#(false,false,le(x1,0),le(x1,s(0)),s(0),s(x1))	(49)
          if#(false,false,y_1,y_2,s(0),s(x3))	→	average#(0,s(s(x3)))	(53)
          average#(0,s(s(s(x0))))	→	if#(true,false,false,false,0,s(s(s(x0))))	(84)
          if#(true,false,false,false,0,s(s(x1)))	→	if2#(false,false,false,0,s(s(x1)))	(82)
          if2#(false,false,false,0,s(s(x1)))	→	if3#(false,false,0,s(s(x1)))	(81)
          if3#(false,false,0,s(s(x1)))	→	if4#(false,0,s(s(x1)))	(80)
          if4#(false,0,s(s(z1)))	→	average#(s(0),z1)	(64)
          average#(s(0),s(s(y_5)))	→	if#(false,false,false,le(y_5,0),s(0),s(s(y_5)))	(74)
          if#(false,false,false,y_0,s(0),s(s(z1)))	→	average#(0,s(s(s(z1))))	(75)

          1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

          We instantiate the pair to the following set of pairs

          if#(false,false,x0,x1,s(0),s(s(y_0)))

          →

          average#(0,s(s(s(y_0))))

          (85)

          1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

          We instantiate the pair to the following set of pairs

          average#(s(0),s(s(y_4)))

          →

          if#(false,false,le(s(y_4),0),le(s(y_4),s(0)),s(0),s(s(y_4)))

          (86)

          1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

          We rewrite the right hand side of the pair resulting in

          →

          1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

          We rewrite the right hand side of the pair resulting in

          →

          1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

          We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

          le(0,y)	→	true	(3)
          le(s(x),0)	→	false	(4)

          1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

          We instantiate the pair to the following set of pairs

          if#(false,false,false,y_0,s(0),s(s(z1)))

          →

          average#(0,s(s(s(z1))))

          (75)

          1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

          We instantiate the pair to the following set of pairs

          if4#(false,0,s(s(s(s(y_0)))))

          →

          average#(s(0),s(s(y_0)))

          (88)

          1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Reduction Pair Processor with Usable Rules

          Using the linear polynomial interpretation over the naturals

          [if#(x1,...,x6)]	=	-2 + 2 · x1 + 2 · x3 + x5 + x6
          [le(x1, x2)]	=	x1
          [0]	=	2
          [true]	=	0
          [s(x1)]	=	2 + x1
          [false]	=	1
          [average#(x1, x2)]	=	2 + x1 + x2
          [if2#(x1,...,x5)]	=	2 · x1 + x5
          [if3#(x1,...,x4)]	=	2 + x4
          [if4#(x1, x2, x3)]	=	1 + x1 + x3

          having no usable rules (w.r.t. the implicit argument filter of the reduction pair), the pair

          average#(0,s(s(s(x0))))

          →

          if#(true,false,false,false,0,s(s(s(x0))))

          (84)

          could be deleted.

          1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

          The dependency pairs are split into 0 components.

• The 2^nd component contains the pair

  le#(s(x),s(y))

  →

  le#(x,y)

  (15)

  1.1.1.2 Usable Rules Processor

  We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

  There are no rules.

  1.1.1.2.1 Innermost Lhss Removal Processor

  We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

  There are no lhss.

  1.1.1.2.1.1 Size-Change Termination

  Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.

  le#(s(x),s(y))	→	le#(x,y)	(15)
  1	>	1
  2	>	2

  As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.