The rewrite relation of the following TRS is considered.
a__incr(nil) | → | nil | (1) |
a__incr(cons(X,L)) | → | cons(s(mark(X)),incr(L)) | (2) |
a__adx(nil) | → | nil | (3) |
a__adx(cons(X,L)) | → | a__incr(cons(mark(X),adx(L))) | (4) |
a__nats | → | a__adx(a__zeros) | (5) |
a__zeros | → | cons(0,zeros) | (6) |
a__head(cons(X,L)) | → | mark(X) | (7) |
a__tail(cons(X,L)) | → | mark(L) | (8) |
mark(incr(X)) | → | a__incr(mark(X)) | (9) |
mark(adx(X)) | → | a__adx(mark(X)) | (10) |
mark(nats) | → | a__nats | (11) |
mark(zeros) | → | a__zeros | (12) |
mark(head(X)) | → | a__head(mark(X)) | (13) |
mark(tail(X)) | → | a__tail(mark(X)) | (14) |
mark(nil) | → | nil | (15) |
mark(cons(X1,X2)) | → | cons(mark(X1),X2) | (16) |
mark(s(X)) | → | s(mark(X)) | (17) |
mark(0) | → | 0 | (18) |
a__incr(X) | → | incr(X) | (19) |
a__adx(X) | → | adx(X) | (20) |
a__nats | → | nats | (21) |
a__zeros | → | zeros | (22) |
a__head(X) | → | head(X) | (23) |
a__tail(X) | → | tail(X) | (24) |
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nil] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[cons(x1, x2)] | = |
|
a__head(cons(X,L)) | → | mark(X) | (7) |
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nil] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[cons(x1, x2)] | = |
|
a__adx(nil) | → | nil | (3) |
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nil] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[cons(x1, x2)] | = |
|
a__tail(cons(X,L)) | → | mark(L) | (8) |
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nil] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[cons(x1, x2)] | = |
|
a__nats | → | a__adx(a__zeros) | (5) |
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nil] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[cons(x1, x2)] | = |
|
a__nats | → | nats | (21) |
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nil] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nats] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[cons(x1, x2)] | = |
|
mark(nats) | → | a__nats | (11) |
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[incr(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[nil] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__head(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__zeros] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__tail(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[a__adx(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[cons(x1, x2)] | = |
|
a__incr(nil) | → | nil | (1) |
a__incr#(cons(X,L)) | → | mark#(X) | (25) |
a__adx#(cons(X,L)) | → | mark#(X) | (26) |
a__adx#(cons(X,L)) | → | a__incr#(cons(mark(X),adx(L))) | (27) |
mark#(incr(X)) | → | mark#(X) | (28) |
mark#(incr(X)) | → | a__incr#(mark(X)) | (29) |
mark#(adx(X)) | → | mark#(X) | (30) |
mark#(adx(X)) | → | a__adx#(mark(X)) | (31) |
mark#(zeros) | → | a__zeros# | (32) |
mark#(head(X)) | → | mark#(X) | (33) |
mark#(head(X)) | → | a__head#(mark(X)) | (34) |
mark#(tail(X)) | → | mark#(X) | (35) |
mark#(tail(X)) | → | a__tail#(mark(X)) | (36) |
mark#(cons(X1,X2)) | → | mark#(X1) | (37) |
mark#(s(X)) | → | mark#(X) | (38) |
The dependency pairs are split into 1 component.
a__adx#(cons(X,L)) | → | mark#(X) | (26) |
mark#(incr(X)) | → | mark#(X) | (28) |
mark#(incr(X)) | → | a__incr#(mark(X)) | (29) |
a__incr#(cons(X,L)) | → | mark#(X) | (25) |
mark#(adx(X)) | → | mark#(X) | (30) |
mark#(adx(X)) | → | a__adx#(mark(X)) | (31) |
a__adx#(cons(X,L)) | → | a__incr#(cons(mark(X),adx(L))) | (27) |
mark#(head(X)) | → | mark#(X) | (33) |
mark#(tail(X)) | → | mark#(X) | (35) |
mark#(cons(X1,X2)) | → | mark#(X1) | (37) |
mark#(s(X)) | → | mark#(X) | (38) |
[mark#(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[s(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[head(x1)] | = | 0 · x1 + -∞ |
[a__incr(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[mark(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[tail(x1)] | = | 4 · x1 + 4 |
[a__adx#(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[a__incr#(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[incr(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[0] | = | 0 |
[nil] | = | 5 |
[adx(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[a__head(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[zeros] | = | 0 |
[a__zeros] | = | 0 |
[a__tail(x1)] | = | 4 · x1 + 4 |
[a__adx(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[cons(x1, x2)] | = | 0 · x1 + 0 · x2 + 0 |
a__incr(cons(X,L)) | → | cons(s(mark(X)),incr(L)) | (2) |
a__adx(cons(X,L)) | → | a__incr(cons(mark(X),adx(L))) | (4) |
a__zeros | → | cons(0,zeros) | (6) |
mark(incr(X)) | → | a__incr(mark(X)) | (9) |
mark(adx(X)) | → | a__adx(mark(X)) | (10) |
mark(zeros) | → | a__zeros | (12) |
mark(head(X)) | → | a__head(mark(X)) | (13) |
mark(tail(X)) | → | a__tail(mark(X)) | (14) |
mark(nil) | → | nil | (15) |
mark(cons(X1,X2)) | → | cons(mark(X1),X2) | (16) |
mark(s(X)) | → | s(mark(X)) | (17) |
mark(0) | → | 0 | (18) |
a__incr(X) | → | incr(X) | (19) |
a__adx(X) | → | adx(X) | (20) |
a__zeros | → | zeros | (22) |
a__head(X) | → | head(X) | (23) |
a__tail(X) | → | tail(X) | (24) |
mark#(tail(X)) | → | mark#(X) | (35) |
[mark#(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[s(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[head(x1)] | = | 0 · x1 + 2 |
[a__incr(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[mark(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[tail(x1)] | = | 0 · x1 + -∞ |
[a__adx#(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[a__incr#(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[incr(x1)] | = | 0 · x1 + -∞ |
[0] | = | 6 |
[nil] | = | 7 |
[adx(x1)] | = | 4 · x1 + 4 |
[a__head(x1)] | = | 0 · x1 + 2 |
[zeros] | = | 7 |
[a__zeros] | = | 7 |
[a__tail(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[a__adx(x1)] | = | 4 · x1 + 4 |
[cons(x1, x2)] | = | 0 · x1 + -∞ · x2 + 1 |
a__incr(cons(X,L)) | → | cons(s(mark(X)),incr(L)) | (2) |
a__adx(cons(X,L)) | → | a__incr(cons(mark(X),adx(L))) | (4) |
a__zeros | → | cons(0,zeros) | (6) |
mark(incr(X)) | → | a__incr(mark(X)) | (9) |
mark(adx(X)) | → | a__adx(mark(X)) | (10) |
mark(zeros) | → | a__zeros | (12) |
mark(head(X)) | → | a__head(mark(X)) | (13) |
mark(tail(X)) | → | a__tail(mark(X)) | (14) |
mark(nil) | → | nil | (15) |
mark(cons(X1,X2)) | → | cons(mark(X1),X2) | (16) |
mark(s(X)) | → | s(mark(X)) | (17) |
mark(0) | → | 0 | (18) |
a__incr(X) | → | incr(X) | (19) |
a__adx(X) | → | adx(X) | (20) |
a__zeros | → | zeros | (22) |
a__head(X) | → | head(X) | (23) |
a__tail(X) | → | tail(X) | (24) |
mark#(adx(X)) | → | mark#(X) | (30) |
mark#(adx(X)) | → | a__adx#(mark(X)) | (31) |
The dependency pairs are split into 1 component.
mark#(incr(X)) | → | mark#(X) | (28) |
mark#(incr(X)) | → | a__incr#(mark(X)) | (29) |
a__incr#(cons(X,L)) | → | mark#(X) | (25) |
mark#(head(X)) | → | mark#(X) | (33) |
mark#(cons(X1,X2)) | → | mark#(X1) | (37) |
mark#(s(X)) | → | mark#(X) | (38) |
[mark#(x1)] | = | 2 · x1 + -∞ |
[s(x1)] | = | 1 · x1 + -∞ |
[head(x1)] | = | 0 · x1 + -∞ |
[a__incr(x1)] | = | 1 · x1 + -∞ |
[mark(x1)] | = | 0 · x1 + -∞ |
[tail(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[a__incr#(x1)] | = | 2 · x1 + -∞ |
[incr(x1)] | = | 1 · x1 + -∞ |
[0] | = | 0 |
[nil] | = | 3 |
[adx(x1)] | = | 6 · x1 + -∞ |
[a__head(x1)] | = | 0 · x1 + -∞ |
[zeros] | = | 0 |
[a__zeros] | = | 0 |
[a__tail(x1)] | = | 0 · x1 + 0 |
[a__adx(x1)] | = | 6 · x1 + -∞ |
[cons(x1, x2)] | = | 0 · x1 + -∞ · x2 + -∞ |
a__incr(cons(X,L)) | → | cons(s(mark(X)),incr(L)) | (2) |
a__adx(cons(X,L)) | → | a__incr(cons(mark(X),adx(L))) | (4) |
a__zeros | → | cons(0,zeros) | (6) |
mark(incr(X)) | → | a__incr(mark(X)) | (9) |
mark(adx(X)) | → | a__adx(mark(X)) | (10) |
mark(zeros) | → | a__zeros | (12) |
mark(head(X)) | → | a__head(mark(X)) | (13) |
mark(tail(X)) | → | a__tail(mark(X)) | (14) |
mark(nil) | → | nil | (15) |
mark(cons(X1,X2)) | → | cons(mark(X1),X2) | (16) |
mark(s(X)) | → | s(mark(X)) | (17) |
mark(0) | → | 0 | (18) |
a__incr(X) | → | incr(X) | (19) |
a__adx(X) | → | adx(X) | (20) |
a__zeros | → | zeros | (22) |
a__head(X) | → | head(X) | (23) |
a__tail(X) | → | tail(X) | (24) |
mark#(incr(X)) | → | mark#(X) | (28) |
mark#(incr(X)) | → | a__incr#(mark(X)) | (29) |
mark#(s(X)) | → | mark#(X) | (38) |
The dependency pairs are split into 1 component.
mark#(head(X)) | → | mark#(X) | (33) |
mark#(cons(X1,X2)) | → | mark#(X1) | (37) |
Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.
mark#(head(X)) | → | mark#(X) | (33) |
1 | > | 1 | |
mark#(cons(X1,X2)) | → | mark#(X1) | (37) |
1 | > | 1 |
As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.