The rewrite relation of the following TRS is considered.
active(U11(tt,M,N)) | → | mark(U12(tt,M,N)) | (1) |
active(U12(tt,M,N)) | → | mark(s(plus(N,M))) | (2) |
active(plus(N,0)) | → | mark(N) | (3) |
active(plus(N,s(M))) | → | mark(U11(tt,M,N)) | (4) |
mark(U11(X1,X2,X3)) | → | active(U11(mark(X1),X2,X3)) | (5) |
mark(tt) | → | active(tt) | (6) |
mark(U12(X1,X2,X3)) | → | active(U12(mark(X1),X2,X3)) | (7) |
mark(s(X)) | → | active(s(mark(X))) | (8) |
mark(plus(X1,X2)) | → | active(plus(mark(X1),mark(X2))) | (9) |
mark(0) | → | active(0) | (10) |
U11(mark(X1),X2,X3) | → | U11(X1,X2,X3) | (11) |
U11(X1,mark(X2),X3) | → | U11(X1,X2,X3) | (12) |
U11(X1,X2,mark(X3)) | → | U11(X1,X2,X3) | (13) |
U11(active(X1),X2,X3) | → | U11(X1,X2,X3) | (14) |
U11(X1,active(X2),X3) | → | U11(X1,X2,X3) | (15) |
U11(X1,X2,active(X3)) | → | U11(X1,X2,X3) | (16) |
U12(mark(X1),X2,X3) | → | U12(X1,X2,X3) | (17) |
U12(X1,mark(X2),X3) | → | U12(X1,X2,X3) | (18) |
U12(X1,X2,mark(X3)) | → | U12(X1,X2,X3) | (19) |
U12(active(X1),X2,X3) | → | U12(X1,X2,X3) | (20) |
U12(X1,active(X2),X3) | → | U12(X1,X2,X3) | (21) |
U12(X1,X2,active(X3)) | → | U12(X1,X2,X3) | (22) |
s(mark(X)) | → | s(X) | (23) |
s(active(X)) | → | s(X) | (24) |
plus(mark(X1),X2) | → | plus(X1,X2) | (25) |
plus(X1,mark(X2)) | → | plus(X1,X2) | (26) |
plus(active(X1),X2) | → | plus(X1,X2) | (27) |
plus(X1,active(X2)) | → | plus(X1,X2) | (28) |
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[U11(x1, x2, x3)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[U12(x1, x2, x3)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[plus(x1, x2)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tt] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[active(x1)] | = |
|
active(plus(N,0)) | → | mark(N) | (3) |
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[U11(x1, x2, x3)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[U12(x1, x2, x3)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[plus(x1, x2)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tt] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[active(x1)] | = |
|
active(U11(tt,M,N)) | → | mark(U12(tt,M,N)) | (1) |
active(plus(N,s(M))) | → | mark(U11(tt,M,N)) | (4) |
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[U11(x1, x2, x3)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[U12(x1, x2, x3)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[plus(x1, x2)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tt] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[active(x1)] | = |
|
active(U12(tt,M,N)) | → | mark(s(plus(N,M))) | (2) |
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[U11(x1, x2, x3)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[U12(x1, x2, x3)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[plus(x1, x2)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tt] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[active(x1)] | = |
|
U12(mark(X1),X2,X3) | → | U12(X1,X2,X3) | (17) |
U12(X1,mark(X2),X3) | → | U12(X1,X2,X3) | (18) |
plus(mark(X1),X2) | → | plus(X1,X2) | (25) |
[mark(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[U11(x1, x2, x3)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[U12(x1, x2, x3)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[plus(x1, x2)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[tt] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[0] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[s(x1)] | = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[active(x1)] | = |
|
mark(U11(X1,X2,X3)) | → | active(U11(mark(X1),X2,X3)) | (5) |
mark(tt) | → | active(tt) | (6) |
mark(0) | → | active(0) | (10) |
U11(mark(X1),X2,X3) | → | U11(X1,X2,X3) | (11) |
U11(X1,mark(X2),X3) | → | U11(X1,X2,X3) | (12) |
U11(X1,X2,mark(X3)) | → | U11(X1,X2,X3) | (13) |
U12(X1,X2,mark(X3)) | → | U12(X1,X2,X3) | (19) |
s(mark(X)) | → | s(X) | (23) |
plus(X1,mark(X2)) | → | plus(X1,X2) | (26) |
mark#(U12(X1,X2,X3)) | → | mark#(X1) | (29) |
mark#(U12(X1,X2,X3)) | → | U12#(mark(X1),X2,X3) | (30) |
mark#(s(X)) | → | mark#(X) | (31) |
mark#(s(X)) | → | s#(mark(X)) | (32) |
mark#(plus(X1,X2)) | → | mark#(X2) | (33) |
mark#(plus(X1,X2)) | → | mark#(X1) | (34) |
mark#(plus(X1,X2)) | → | plus#(mark(X1),mark(X2)) | (35) |
U11#(active(X1),X2,X3) | → | U11#(X1,X2,X3) | (36) |
U11#(X1,active(X2),X3) | → | U11#(X1,X2,X3) | (37) |
U11#(X1,X2,active(X3)) | → | U11#(X1,X2,X3) | (38) |
U12#(active(X1),X2,X3) | → | U12#(X1,X2,X3) | (39) |
U12#(X1,active(X2),X3) | → | U12#(X1,X2,X3) | (40) |
U12#(X1,X2,active(X3)) | → | U12#(X1,X2,X3) | (41) |
s#(active(X)) | → | s#(X) | (42) |
plus#(active(X1),X2) | → | plus#(X1,X2) | (43) |
plus#(X1,active(X2)) | → | plus#(X1,X2) | (44) |
The dependency pairs are split into 5 components.
mark#(s(X)) | → | mark#(X) | (31) |
mark#(U12(X1,X2,X3)) | → | mark#(X1) | (29) |
mark#(plus(X1,X2)) | → | mark#(X2) | (33) |
mark#(plus(X1,X2)) | → | mark#(X1) | (34) |
Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.
mark#(s(X)) | → | mark#(X) | (31) |
1 | > | 1 | |
mark#(U12(X1,X2,X3)) | → | mark#(X1) | (29) |
1 | > | 1 | |
mark#(plus(X1,X2)) | → | mark#(X2) | (33) |
1 | > | 1 | |
mark#(plus(X1,X2)) | → | mark#(X1) | (34) |
1 | > | 1 |
As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.
U12#(active(X1),X2,X3) | → | U12#(X1,X2,X3) | (39) |
U12#(X1,active(X2),X3) | → | U12#(X1,X2,X3) | (40) |
U12#(X1,X2,active(X3)) | → | U12#(X1,X2,X3) | (41) |
Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.
U12#(active(X1),X2,X3) | → | U12#(X1,X2,X3) | (39) |
3 | ≥ | 3 | |
2 | ≥ | 2 | |
1 | > | 1 | |
U12#(X1,active(X2),X3) | → | U12#(X1,X2,X3) | (40) |
3 | ≥ | 3 | |
2 | > | 2 | |
1 | ≥ | 1 | |
U12#(X1,X2,active(X3)) | → | U12#(X1,X2,X3) | (41) |
3 | > | 3 | |
2 | ≥ | 2 | |
1 | ≥ | 1 |
As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.
s#(active(X)) | → | s#(X) | (42) |
Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.
s#(active(X)) | → | s#(X) | (42) |
1 | > | 1 |
As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.
plus#(active(X1),X2) | → | plus#(X1,X2) | (43) |
plus#(X1,active(X2)) | → | plus#(X1,X2) | (44) |
Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.
plus#(active(X1),X2) | → | plus#(X1,X2) | (43) |
2 | ≥ | 2 | |
1 | > | 1 | |
plus#(X1,active(X2)) | → | plus#(X1,X2) | (44) |
2 | > | 2 | |
1 | ≥ | 1 |
As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.
U11#(active(X1),X2,X3) | → | U11#(X1,X2,X3) | (36) |
U11#(X1,active(X2),X3) | → | U11#(X1,X2,X3) | (37) |
U11#(X1,X2,active(X3)) | → | U11#(X1,X2,X3) | (38) |
Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.
U11#(active(X1),X2,X3) | → | U11#(X1,X2,X3) | (36) |
3 | ≥ | 3 | |
2 | ≥ | 2 | |
1 | > | 1 | |
U11#(X1,active(X2),X3) | → | U11#(X1,X2,X3) | (37) |
3 | ≥ | 3 | |
2 | > | 2 | |
1 | ≥ | 1 | |
U11#(X1,X2,active(X3)) | → | U11#(X1,X2,X3) | (38) |
3 | > | 3 | |
2 | ≥ | 2 | |
1 | ≥ | 1 |
As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.