Certification Problem

Input (TPDB TRS_Standard/Beerendonk_07/19)

The rewrite relation of the following TRS is considered.

cond1(true,x,y,z)	→	cond2(gr(x,0),x,y,z)	(1)
cond2(true,x,y,z)	→	cond1(or(gr(x,z),gr(y,z)),p(x),y,z)	(2)
cond2(false,x,y,z)	→	cond3(gr(y,0),x,y,z)	(3)
cond3(true,x,y,z)	→	cond1(or(gr(x,z),gr(y,z)),x,p(y),z)	(4)
cond3(false,x,y,z)	→	cond1(or(gr(x,z),gr(y,z)),x,y,z)	(5)
gr(0,x)	→	false	(6)
gr(s(x),0)	→	true	(7)
gr(s(x),s(y))	→	gr(x,y)	(8)
or(false,false)	→	false	(9)
or(true,x)	→	true	(10)
or(x,true)	→	true	(11)
p(0)	→	0	(12)
p(s(x))	→	x	(13)

Property / Task

Prove or disprove termination.

Answer / Result

Yes.

Proof (by AProVE @ termCOMP 2023)

1 Switch to Innermost Termination

The TRS is overlay and locally confluent:

Hence, it suffices to show innermost termination in the following.

1.1 Dependency Pair Transformation

The following set of initial dependency pairs has been identified.

cond1^#(true,x,y,z)	→	cond2^#(gr(x,0),x,y,z)	(14)
cond1^#(true,x,y,z)	→	gr^#(x,0)	(15)
cond2^#(true,x,y,z)	→	cond1^#(or(gr(x,z),gr(y,z)),p(x),y,z)	(16)
cond2^#(true,x,y,z)	→	or^#(gr(x,z),gr(y,z))	(17)
cond2^#(true,x,y,z)	→	gr^#(x,z)	(18)
cond2^#(true,x,y,z)	→	gr^#(y,z)	(19)
cond2^#(true,x,y,z)	→	p^#(x)	(20)
cond2^#(false,x,y,z)	→	cond3^#(gr(y,0),x,y,z)	(21)
cond2^#(false,x,y,z)	→	gr^#(y,0)	(22)
cond3^#(true,x,y,z)	→	cond1^#(or(gr(x,z),gr(y,z)),x,p(y),z)	(23)
cond3^#(true,x,y,z)	→	or^#(gr(x,z),gr(y,z))	(24)
cond3^#(true,x,y,z)	→	gr^#(x,z)	(25)
cond3^#(true,x,y,z)	→	gr^#(y,z)	(26)
cond3^#(true,x,y,z)	→	p^#(y)	(27)
cond3^#(false,x,y,z)	→	cond1^#(or(gr(x,z),gr(y,z)),x,y,z)	(28)
cond3^#(false,x,y,z)	→	or^#(gr(x,z),gr(y,z))	(29)
cond3^#(false,x,y,z)	→	gr^#(x,z)	(30)
cond3^#(false,x,y,z)	→	gr^#(y,z)	(31)
gr^#(s(x),s(y))	→	gr^#(x,y)	(32)

1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 2 components.

The 1^st component contains the pair

cond2^#(true,x,y,z)	→	cond1^#(or(gr(x,z),gr(y,z)),p(x),y,z)	(16)
cond1^#(true,x,y,z)	→	cond2^#(gr(x,0),x,y,z)	(14)
cond2^#(false,x,y,z)	→	cond3^#(gr(y,0),x,y,z)	(21)
cond3^#(true,x,y,z)	→	cond1^#(or(gr(x,z),gr(y,z)),x,p(y),z)	(23)
cond3^#(false,x,y,z)	→	cond1^#(or(gr(x,z),gr(y,z)),x,y,z)	(28)

1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

gr(0,x)	→	false	(6)
gr(s(x),0)	→	true	(7)
gr(s(x),s(y))	→	gr(x,y)	(8)
or(false,false)	→	false	(9)
or(true,x)	→	true	(10)
or(x,true)	→	true	(11)
p(0)	→	0	(12)
p(s(x))	→	x	(13)

1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

gr(0,x0)

gr(s(x0),0)

gr(s(x0),s(x1))

or(false,false)

or(true,x0)

or(x0,true)

p(0)

p(s(x0))

1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 1 to get the following set of pairs

cond2^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),p(0),y1,x0)	(33)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(or(true,gr(y1,0)),p(s(x0)),y1,0)	(34)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),p(s(x0)),y1,s(x1))	(35)
cond2^#(true,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),p(y0),0,x0)	(36)
cond2^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(or(gr(y0,0),true),p(y0),s(x0),0)	(37)
cond2^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),p(y0),s(x0),s(x1))	(38)

1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 1 to get the following set of pairs

cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

cond3^#(true,x,y,z)	→	cond1^#(or(gr(x,z),gr(y,z)),x,p(y),z)	(23)
cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond2^#(false,x,y,z)	→	cond3^#(gr(y,0),x,y,z)	(21)
cond3^#(false,x,y,z)	→	cond1^#(or(gr(x,z),gr(y,z)),x,y,z)	(28)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)
cond2^#(true,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),p(y0),0,x0)	(36)
cond2^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),p(y0),s(x0),s(x1))	(38)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond2^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,p(y0),s(x0),0)	(42)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 1 to get the following set of pairs

cond3^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,p(y1),x0)	(46)
cond3^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(or(true,gr(y1,0)),s(x0),p(y1),0)	(47)
cond3^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),p(y1),s(x1))	(48)
cond3^#(true,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),y0,p(0),x0)	(49)
cond3^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(or(gr(y0,0),true),y0,p(s(x0)),0)	(50)
cond3^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,p(s(x0)),s(x1))	(51)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 1 to get the following set of pairs

cond2^#(false,y0,0,y2)	→	cond3^#(false,y0,0,y2)	(57)
cond2^#(false,y0,s(x0),y2)	→	cond3^#(true,y0,s(x0),y2)	(58)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

cond2^#(false,y0,0,y2)	→	cond3^#(false,y0,0,y2)	(57)
cond3^#(false,x,y,z)	→	cond1^#(or(gr(x,z),gr(y,z)),x,y,z)	(28)
cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond2^#(false,y0,s(x0),y2)	→	cond3^#(true,y0,s(x0),y2)	(58)
cond3^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,p(y1),x0)	(46)
cond3^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),p(y1),s(x1))	(48)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)
cond2^#(true,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),p(y0),0,x0)	(36)
cond2^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),p(y0),s(x0),s(x1))	(38)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond2^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,p(y0),s(x0),0)	(42)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)
cond3^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),p(y1),0)	(52)
cond3^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,x0,s(x1))	(55)
cond3^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,y0,x0,0)	(56)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 1 to get the following set of pairs

cond3^#(false,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,y1,x0)	(59)
cond3^#(false,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(or(true,gr(y1,0)),s(x0),y1,0)	(60)
cond3^#(false,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),y1,s(x1))	(61)
cond3^#(false,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),y0,0,x0)	(62)
cond3^#(false,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(or(gr(y0,0),true),y0,s(x0),0)	(63)
cond3^#(false,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,s(x0),s(x1))	(64)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

cond3^#(false,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,y1,x0)	(59)
cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond2^#(false,y0,0,y2)	→	cond3^#(false,y0,0,y2)	(57)
cond3^#(false,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(or(true,gr(y1,0)),s(x0),y1,0)	(60)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)
cond2^#(true,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),p(y0),0,x0)	(36)
cond2^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),p(y0),s(x0),s(x1))	(38)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond2^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,p(y0),s(x0),0)	(42)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)
cond3^#(false,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),y1,s(x1))	(61)
cond3^#(false,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),y0,0,x0)	(62)
cond2^#(false,y0,s(x0),y2)	→	cond3^#(true,y0,s(x0),y2)	(58)
cond3^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,p(y1),x0)	(46)
cond3^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),p(y1),s(x1))	(48)
cond3^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),p(y1),0)	(52)
cond3^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,x0,s(x1))	(55)
cond3^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,y0,x0,0)	(56)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 2 to get the following set of pairs

cond2^#(true,0,0,y1)	→	cond1^#(or(gr(0,y1),false),0,0,y1)	(66)
cond2^#(true,s(x0),0,y1)	→	cond1^#(or(gr(s(x0),y1),false),x0,0,y1)	(67)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond2^#(false,y0,0,y2)	→	cond3^#(false,y0,0,y2)	(57)
cond3^#(false,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,y1,x0)	(59)
cond3^#(false,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),y1,s(x1))	(61)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)
cond2^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),p(y0),s(x0),s(x1))	(38)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond2^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,p(y0),s(x0),0)	(42)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)
cond2^#(true,s(x0),0,y1)	→	cond1^#(or(gr(s(x0),y1),false),x0,0,y1)	(67)
cond3^#(false,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),y0,0,x0)	(62)
cond3^#(false,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),y1,0)	(65)
cond2^#(false,y0,s(x0),y2)	→	cond3^#(true,y0,s(x0),y2)	(58)
cond3^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,p(y1),x0)	(46)
cond3^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),p(y1),s(x1))	(48)
cond3^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),p(y1),0)	(52)
cond3^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,x0,s(x1))	(55)
cond3^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,y0,x0,0)	(56)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 2 to get the following set of pairs

cond2^#(true,0,s(y1),s(y2))	→	cond1^#(or(gr(0,s(y2)),gr(y1,y2)),0,s(y1),s(y2))	(68)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),s(y2))	→	cond1^#(or(gr(s(x0),s(y2)),gr(y1,y2)),x0,s(y1),s(y2))	(69)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

cond2^#(false,y0,0,y2)	→	cond3^#(false,y0,0,y2)	(57)
cond3^#(false,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,y1,x0)	(59)
cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond2^#(false,y0,s(x0),y2)	→	cond3^#(true,y0,s(x0),y2)	(58)
cond3^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,p(y1),x0)	(46)
cond3^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),p(y1),s(x1))	(48)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond2^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,p(y0),s(x0),0)	(42)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)
cond2^#(true,s(x0),0,y1)	→	cond1^#(or(gr(s(x0),y1),false),x0,0,y1)	(67)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),s(y2))	→	cond1^#(or(gr(s(x0),s(y2)),gr(y1,y2)),x0,s(y1),s(y2))	(69)
cond3^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),p(y1),0)	(52)
cond3^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,x0,s(x1))	(55)
cond3^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,y0,x0,0)	(56)
cond3^#(false,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),y1,s(x1))	(61)
cond3^#(false,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),y0,0,x0)	(62)
cond3^#(false,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),y1,0)	(65)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Narrowing Processor

We consider all narrowings of the pair below position 2 to get the following set of pairs

cond2^#(true,0,s(y1),0)	→	cond1^#(true,0,s(y1),0)	(71)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),0)	→	cond1^#(true,x0,s(y1),0)	(72)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

cond3^#(false,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,y1,x0)	(59)
cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond2^#(false,y0,0,y2)	→	cond3^#(false,y0,0,y2)	(57)
cond3^#(false,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),y1,s(x1))	(61)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)
cond2^#(true,s(x0),0,y1)	→	cond1^#(or(gr(s(x0),y1),false),x0,0,y1)	(67)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),s(y2))	→	cond1^#(or(gr(x0,y2),gr(y1,y2)),x0,s(y1),s(y2))	(70)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),0)	→	cond1^#(true,x0,s(y1),0)	(72)
cond3^#(false,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),y0,0,x0)	(62)
cond3^#(false,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),y1,0)	(65)
cond2^#(false,y0,s(x0),y2)	→	cond3^#(true,y0,s(x0),y2)	(58)
cond3^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,p(y1),x0)	(46)
cond3^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),p(y1),s(x1))	(48)
cond3^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),p(y1),0)	(52)
cond3^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,x0,s(x1))	(55)
cond3^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,y0,x0,0)	(56)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond3^#(false,0,0,z1)

→

cond1^#(or(false,gr(0,z1)),0,0,z1)

(73)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

cond2^#(false,y0,0,y2)	→	cond3^#(false,y0,0,y2)	(57)
cond3^#(false,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),y1,s(x1))	(61)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond2^#(false,y0,s(x0),y2)	→	cond3^#(true,y0,s(x0),y2)	(58)
cond3^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,p(y1),x0)	(46)
cond3^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),p(y1),s(x1))	(48)
cond3^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),p(y1),0)	(52)
cond3^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,x0,s(x1))	(55)
cond3^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,y0,x0,0)	(56)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)
cond2^#(true,s(x0),0,y1)	→	cond1^#(or(gr(s(x0),y1),false),x0,0,y1)	(67)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),s(y2))	→	cond1^#(or(gr(x0,y2),gr(y1,y2)),x0,s(y1),s(y2))	(70)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),0)	→	cond1^#(true,x0,s(y1),0)	(72)
cond3^#(false,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),y0,0,x0)	(62)
cond3^#(false,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),y1,0)	(65)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond2^#(false,0,0,z1)

→

cond3^#(false,0,0,z1)

(75)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond2^#(false,y0,s(x0),y2)	→	cond3^#(true,y0,s(x0),y2)	(58)
cond3^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,p(y1),x0)	(46)
cond3^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),s(x0),p(y1),s(x1))	(48)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)
cond2^#(true,s(x0),0,y1)	→	cond1^#(or(gr(s(x0),y1),false),x0,0,y1)	(67)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),s(y2))	→	cond1^#(or(gr(x0,y2),gr(y1,y2)),x0,s(y1),s(y2))	(70)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),0)	→	cond1^#(true,x0,s(y1),0)	(72)
cond3^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,s(x0),p(y1),0)	(52)
cond3^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,x0,s(x1))	(55)
cond3^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,y0,x0,0)	(56)
cond2^#(false,0,0,z1)	→	cond3^#(false,0,0,z1)	(75)
cond3^#(false,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),y0,0,x0)	(62)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond2^#(false,0,s(x1),z1)

→

cond3^#(true,0,s(x1),z1)

(76)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond2^#(false,0,0,z1)	→	cond3^#(false,0,0,z1)	(75)
cond3^#(false,y0,0,x0)	→	cond1^#(or(gr(y0,x0),false),y0,0,x0)	(62)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)
cond2^#(true,s(x0),0,y1)	→	cond1^#(or(gr(s(x0),y1),false),x0,0,y1)	(67)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),s(y2))	→	cond1^#(or(gr(x0,y2),gr(y1,y2)),x0,s(y1),s(y2))	(70)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),0)	→	cond1^#(true,x0,s(y1),0)	(72)
cond2^#(false,0,s(x1),z1)	→	cond3^#(true,0,s(x1),z1)	(76)
cond3^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,p(y1),x0)	(46)
cond3^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,x0,s(x1))	(55)
cond3^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,y0,x0,0)	(56)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond3^#(false,0,0,z0)

→

cond1^#(or(gr(0,z0),false),0,0,z0)

(77)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 1 component.

The 1^st component contains the pair

cond2^#(false,0,s(x1),z1)	→	cond3^#(true,0,s(x1),z1)	(76)
cond3^#(true,0,y1,x0)	→	cond1^#(or(false,gr(y1,x0)),0,p(y1),x0)	(46)
cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond3^#(true,y0,s(x0),s(x1))	→	cond1^#(or(gr(y0,s(x1)),gr(x0,x1)),y0,x0,s(x1))	(55)
cond1^#(true,s(x0),y1,y2)	→	cond2^#(true,s(x0),y1,y2)	(45)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)
cond2^#(true,s(x0),0,y1)	→	cond1^#(or(gr(s(x0),y1),false),x0,0,y1)	(67)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),s(y2))	→	cond1^#(or(gr(x0,y2),gr(y1,y2)),x0,s(y1),s(y2))	(70)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),0)	→	cond1^#(true,x0,s(y1),0)	(72)
cond3^#(true,y0,s(x0),0)	→	cond1^#(true,y0,x0,0)	(56)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond3^#(true,0,s(z0),z1)

→

cond1^#(or(false,gr(s(z0),z1)),0,p(s(z0)),z1)

(79)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

gr(s(x),0)	→	true	(7)
gr(s(x),s(y))	→	gr(x,y)	(8)
or(false,false)	→	false	(9)
or(x,true)	→	true	(11)
p(s(x))	→	x	(13)
gr(0,x)	→	false	(6)
or(true,x)	→	true	(10)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

gr(s(x),0)	→	true	(7)
gr(s(x),s(y))	→	gr(x,y)	(8)
or(false,false)	→	false	(9)
or(x,true)	→	true	(11)
gr(0,x)	→	false	(6)
or(true,x)	→	true	(10)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

gr(0,x0)

gr(s(x0),0)

gr(s(x0),s(x1))

or(false,false)

or(true,x0)

or(x0,true)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond3^#(true,0,s(z0),s(x2))

→

cond1^#(or(gr(0,s(x2)),gr(z0,x2)),0,z0,s(x2))

(81)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond1^#(true,s(x0),z1,s(z2))	→	cond2^#(true,s(x0),z1,s(z2))	(83)
cond1^#(true,s(x0),z1,0)	→	cond2^#(true,s(x0),z1,0)	(84)
cond1^#(true,s(x0),0,z1)	→	cond2^#(true,s(x0),0,z1)	(85)
cond1^#(true,s(x0),s(z1),s(z2))	→	cond2^#(true,s(x0),s(z1),s(z2))	(86)
cond1^#(true,s(x0),s(z1),0)	→	cond2^#(true,s(x0),s(z1),0)	(87)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond3^#(true,0,s(z0),0)

→

cond1^#(true,0,z0,0)

(88)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Dependency Graph Processor

The dependency pairs are split into 2 components.

The 1^st component contains the pair

cond1^#(true,s(x0),z1,s(z2))	→	cond2^#(true,s(x0),z1,s(z2))	(83)
cond2^#(true,s(x0),y1,s(x1))	→	cond1^#(or(gr(x0,x1),gr(y1,s(x1))),x0,y1,s(x1))	(41)
cond1^#(true,s(x0),0,z1)	→	cond2^#(true,s(x0),0,z1)	(85)
cond2^#(true,s(x0),y1,0)	→	cond1^#(true,x0,y1,0)	(43)
cond1^#(true,s(x0),z1,0)	→	cond2^#(true,s(x0),z1,0)	(84)
cond2^#(true,s(x0),0,y1)	→	cond1^#(or(gr(s(x0),y1),false),x0,0,y1)	(67)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),0)	→	cond1^#(true,x0,s(y1),0)	(72)
cond1^#(true,s(x0),s(z1),0)	→	cond2^#(true,s(x0),s(z1),0)	(87)
cond1^#(true,s(x0),s(z1),s(z2))	→	cond2^#(true,s(x0),s(z1),s(z2))	(86)
cond2^#(true,s(x0),s(y1),s(y2))	→	cond1^#(or(gr(x0,y2),gr(y1,y2)),x0,s(y1),s(y2))	(70)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond2^#(true,s(s(y_1)),x1,s(x2))	→	cond1^#(or(gr(s(y_1),x2),gr(x1,s(x2))),s(y_1),x1,s(x2))	(89)
cond2^#(true,s(s(y_1)),0,s(x2))	→	cond1^#(or(gr(s(y_1),x2),gr(0,s(x2))),s(y_1),0,s(x2))	(90)
cond2^#(true,s(s(y_1)),s(y_2),s(x2))	→	cond1^#(or(gr(s(y_1),x2),gr(s(y_2),s(x2))),s(y_1),s(y_2),s(x2))	(91)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond1^#(true,s(x0),0,s(x2))	→	cond2^#(true,s(x0),0,s(x2))	(94)
cond1^#(true,s(x0),s(z1),s(z2))	→	cond2^#(true,s(x0),s(z1),s(z2))	(86)
cond1^#(true,s(s(y_0)),x1,s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),x1,s(x2))	(95)
cond1^#(true,s(s(y_0)),0,s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),0,s(x2))	(96)
cond1^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),s(x2))	(97)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond2^#(true,s(s(y_0)),x1,0)	→	cond1^#(true,s(y_0),x1,0)	(98)
cond2^#(true,s(s(y_0)),0,0)	→	cond1^#(true,s(y_0),0,0)	(99)
cond2^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),0)	→	cond1^#(true,s(y_0),s(y_1),0)	(100)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond1^#(true,s(x0),0,0)	→	cond2^#(true,s(x0),0,0)	(101)
cond1^#(true,s(x0),s(z1),0)	→	cond2^#(true,s(x0),s(z1),0)	(87)
cond1^#(true,s(s(y_0)),x1,0)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),x1,0)	(102)
cond1^#(true,s(s(y_0)),0,0)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),0,0)	(103)
cond1^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),0)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),0)	(104)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond2^#(true,s(s(y_1)),0,x1)	→	cond1^#(or(gr(s(s(y_1)),x1),false),s(y_1),0,x1)	(105)
cond2^#(true,s(s(y_1)),0,s(y_2))	→	cond1^#(or(gr(s(s(y_1)),s(y_2)),false),s(y_1),0,s(y_2))	(106)
cond2^#(true,s(s(s(y_1))),0,s(y_3))	→	cond1^#(or(gr(s(s(s(y_1))),s(y_3)),false),s(s(y_1)),0,s(y_3))	(107)
cond2^#(true,s(s(y_1)),0,0)	→	cond1^#(or(gr(s(s(y_1)),0),false),s(y_1),0,0)	(108)
cond2^#(true,s(s(s(y_1))),0,0)	→	cond1^#(or(gr(s(s(s(y_1))),0),false),s(s(y_1)),0,0)	(109)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Rewriting Processor

We rewrite the right hand side of the pair resulting in

→

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond1^#(true,s(s(y_0)),0,s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),0,s(x2))	(96)
cond1^#(true,s(s(y_0)),0,0)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),0,0)	(103)
cond1^#(true,s(s(y_0)),0,x1)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),0,x1)	(114)
cond1^#(true,s(s(s(y_0))),0,s(y_1))	→	cond2^#(true,s(s(s(y_0))),0,s(y_1))	(115)
cond1^#(true,s(s(s(y_0))),0,0)	→	cond2^#(true,s(s(s(y_0))),0,0)	(116)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond2^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),0)	→	cond1^#(true,s(y_0),s(y_1),0)	(100)
cond2^#(true,s(s(s(y_0))),s(x1),0)	→	cond1^#(true,s(s(y_0)),s(x1),0)	(117)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond1^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),0)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),0)	(104)
cond1^#(true,s(s(s(y_0))),s(x1),0)	→	cond2^#(true,s(s(s(y_0))),s(x1),0)	(118)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond2^#(true,s(s(y_1)),s(y_2),s(x2))	→	cond1^#(or(gr(s(y_1),x2),gr(y_2,x2)),s(y_1),s(y_2),s(x2))	(93)
cond2^#(true,s(s(s(y_1))),s(x1),s(x2))	→	cond1^#(or(gr(s(s(y_1)),x2),gr(x1,x2)),s(s(y_1)),s(x1),s(x2))	(119)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond1^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),s(x2))	(97)
cond1^#(true,s(s(s(y_0))),s(x1),s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(s(y_0))),s(x1),s(x2))	(120)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond1^#(true,s(s(y_0)),0,s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),0,s(x2))	(96)
cond1^#(true,s(s(s(y_0))),0,s(y_1))	→	cond2^#(true,s(s(s(y_0))),0,s(y_1))	(115)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond1^#(true,s(s(y_0)),0,0)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),0,0)	(103)
cond1^#(true,s(s(s(y_0))),0,0)	→	cond2^#(true,s(s(s(y_0))),0,0)	(116)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1 Size-Change Termination

Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.

cond1^#(true,s(s(y_0)),x1,s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),x1,s(x2))	(95)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(y_1)),x1,s(x2))	→	cond1^#(or(gr(s(y_1),x2),gr(x1,s(x2))),s(y_1),x1,s(x2))	(89)

2	>	2
3	≥	3
4	≥	4
cond1^#(true,s(s(y_0)),0,x1)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),0,x1)	(114)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond1^#(true,s(s(y_0)),x1,0)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),x1,0)	(102)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(y_1)),0,x1)	→	cond1^#(or(gr(s(s(y_1)),x1),false),s(y_1),0,x1)	(105)

2	>	2
3	≥	3
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(y_0)),x1,0)	→	cond1^#(true,s(y_0),x1,0)	(98)

1	≥	1
2	>	2
3	≥	3
4	≥	4
cond1^#(true,s(s(y_0)),0,s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),0,s(x2))	(96)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond1^#(true,s(s(s(y_0))),0,s(y_1))	→	cond2^#(true,s(s(s(y_0))),0,s(y_1))	(115)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond1^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),s(x2))	(97)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond1^#(true,s(s(s(y_0))),s(x1),s(x2))	→	cond2^#(true,s(s(s(y_0))),s(x1),s(x2))	(120)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(y_1)),0,s(x2))	→	cond1^#(or(gr(s(y_1),x2),false),s(y_1),0,s(x2))	(92)

2	>	2
3	≥	3
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(s(y_1))),0,s(y_3))	→	cond1^#(or(gr(s(s(y_1)),y_3),false),s(s(y_1)),0,s(y_3))	(110)

2	>	2
3	≥	3
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(y_1)),s(y_2),s(x2))	→	cond1^#(or(gr(s(y_1),x2),gr(y_2,x2)),s(y_1),s(y_2),s(x2))	(93)

2	>	2
3	≥	3
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(s(y_1))),s(x1),s(x2))	→	cond1^#(or(gr(s(s(y_1)),x2),gr(x1,x2)),s(s(y_1)),s(x1),s(x2))	(119)

2	>	2
3	≥	3
4	≥	4
cond1^#(true,s(s(y_0)),0,0)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),0,0)	(103)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	3
3	≥	4
4	≥	4
cond1^#(true,s(s(s(y_0))),0,0)	→	cond2^#(true,s(s(s(y_0))),0,0)	(116)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	3
3	≥	4
4	≥	4
cond1^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),0)	→	cond2^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),0)	(104)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond1^#(true,s(s(s(y_0))),s(x1),0)	→	cond2^#(true,s(s(s(y_0))),s(x1),0)	(118)

1	≥	1
2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(y_0)),0,0)	→	cond1^#(true,s(y_0),0,0)	(99)

1	≥	1
2	>	2
3	≥	3
4	≥	3
3	≥	4
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(s(y_1))),0,0)	→	cond1^#(true,s(s(y_1)),0,0)	(113)

1	≥	1
2	>	2
3	≥	3
4	≥	3
3	≥	4
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(y_0)),s(y_1),0)	→	cond1^#(true,s(y_0),s(y_1),0)	(100)

1	≥	1
2	>	2
3	≥	3
4	≥	4
cond2^#(true,s(s(s(y_0))),s(x1),0)	→	cond1^#(true,s(s(y_0)),s(x1),0)	(117)

1	≥	1
2	>	2
3	≥	3
4	≥	4

As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.

The 2^nd component contains the pair

cond3^#(true,0,s(z0),z1)	→	cond1^#(or(false,gr(s(z0),z1)),0,z0,z1)	(80)
cond1^#(true,0,y1,y2)	→	cond2^#(false,0,y1,y2)	(44)
cond2^#(false,0,s(x1),z1)	→	cond3^#(true,0,s(x1),z1)	(76)
cond3^#(true,0,s(z0),s(x2))	→	cond1^#(or(false,gr(z0,x2)),0,z0,s(x2))	(82)
cond3^#(true,0,s(z0),0)	→	cond1^#(true,0,z0,0)	(88)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

gr(s(x),0)	→	true	(7)
gr(s(x),s(y))	→	gr(x,y)	(8)
gr(0,x)	→	false	(6)
or(false,false)	→	false	(9)
or(x,true)	→	true	(11)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond1^#(true,0,s(y_0),x1)

→

cond2^#(false,0,s(y_0),x1)

(121)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond3^#(true,0,s(s(y_1)),x1)

→

cond1^#(or(false,gr(s(s(y_1)),x1)),0,s(y_1),x1)

(122)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond2^#(false,0,s(x0),s(y_1))	→	cond3^#(true,0,s(x0),s(y_1))	(123)
cond2^#(false,0,s(x0),0)	→	cond3^#(true,0,s(x0),0)	(124)
cond2^#(false,0,s(s(y_0)),x1)	→	cond3^#(true,0,s(s(y_0)),x1)	(125)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond3^#(true,0,s(s(y_1)),s(x1))

→

cond1^#(or(false,gr(s(y_1),x1)),0,s(y_1),s(x1))

(126)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1 Forward Instantiation Processor

We instantiate the pair to the following set of pairs

cond3^#(true,0,s(s(y_0)),0)

→

cond1^#(true,0,s(y_0),0)

(127)

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1 Size-Change Termination

Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.

cond1^#(true,0,s(y_0),x1)	→	cond2^#(false,0,s(y_0),x1)	(121)

2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond3^#(true,0,s(s(y_0)),0)	→	cond1^#(true,0,s(y_0),0)	(127)

1	≥	1
2	≥	2
4	≥	2
3	>	3
2	≥	4
4	≥	4
cond3^#(true,0,s(s(y_1)),x1)	→	cond1^#(or(false,gr(s(s(y_1)),x1)),0,s(y_1),x1)	(122)

2	≥	2
3	>	3
4	≥	4
cond3^#(true,0,s(s(y_1)),s(x1))	→	cond1^#(or(false,gr(s(y_1),x1)),0,s(y_1),s(x1))	(126)

2	≥	2
3	>	3
4	≥	4
cond2^#(false,0,s(x0),0)	→	cond3^#(true,0,s(x0),0)	(124)

2	≥	2
4	≥	2
3	≥	3
2	≥	4
4	≥	4
cond2^#(false,0,s(s(y_0)),x1)	→	cond3^#(true,0,s(s(y_0)),x1)	(125)

2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4
cond2^#(false,0,s(x0),s(y_1))	→	cond3^#(true,0,s(x0),s(y_1))	(123)

2	≥	2
3	≥	3
4	≥	4

As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.

The 2^nd component contains the pair
gr^#(s(x),s(y)) → gr^#(x,y) (32)

1.1.1.2 Usable Rules Processor

We restrict the rewrite rules to the following usable rules of the DP problem.

There are no rules.

1.1.1.2.1 Innermost Lhss Removal Processor

We restrict the innermost strategy to the following left hand sides.

There are no lhss.

1.1.1.2.1.1 Size-Change Termination

Using size-change termination in combination with the subterm criterion one obtains the following initial size-change graphs.

gr^#(s(x),s(y)) → gr^#(x,y) (32)

1 > 1

2 > 2

As there is no critical graph in the transitive closure, there are no infinite chains.