WORST_CASE(?,O(n^1)) * Step 1: DependencyPairs WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict TRS: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U21(tt(),X) -> U22(tt(),activate(X)) U22(tt(),X) -> activate(X) U31(tt(),N) -> U32(tt(),activate(N)) U32(tt(),N) -> activate(N) U41(tt(),N,XS) -> U42(tt(),activate(N),activate(XS)) U42(tt(),N,XS) -> head(afterNth(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) U71(tt(),XS) -> U72(tt(),activate(XS)) U72(tt(),XS) -> activate(XS) U81(tt(),N,XS) -> U82(tt(),activate(N),activate(XS)) U82(tt(),N,XS) -> fst(splitAt(activate(N),activate(XS))) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) fst(pair(X,Y)) -> U21(tt(),X) head(cons(N,XS)) -> U31(tt(),N) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) sel(N,XS) -> U41(tt(),N,XS) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) tail(cons(N,XS)) -> U71(tt(),activate(XS)) take(N,XS) -> U81(tt(),N,XS) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11,U12,U21,U22,U31,U32,U41,U42,U51,U52,U61,U62,U63,U64 ,U71,U72,U81,U82,activate,afterNth,fst,head,natsFrom,sel,snd,splitAt,tail,take} and constructors {0,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: DependencyPairs {dpKind_ = DT} + Details: We add the following dependency tuples: Strict DPs U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) activate#(X) -> c_19() activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) natsFrom#(N) -> c_24() natsFrom#(X) -> c_25() sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) splitAt#(0(),XS) -> c_28() splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) Weak DPs and mark the set of starting terms. * Step 2: UsableRules WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) activate#(X) -> c_19() activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) natsFrom#(N) -> c_24() natsFrom#(X) -> c_25() sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) splitAt#(0(),XS) -> c_28() splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) - Weak TRS: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U21(tt(),X) -> U22(tt(),activate(X)) U22(tt(),X) -> activate(X) U31(tt(),N) -> U32(tt(),activate(N)) U32(tt(),N) -> activate(N) U41(tt(),N,XS) -> U42(tt(),activate(N),activate(XS)) U42(tt(),N,XS) -> head(afterNth(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) U71(tt(),XS) -> U72(tt(),activate(XS)) U72(tt(),XS) -> activate(XS) U81(tt(),N,XS) -> U82(tt(),activate(N),activate(XS)) U82(tt(),N,XS) -> fst(splitAt(activate(N),activate(XS))) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) fst(pair(X,Y)) -> U21(tt(),X) head(cons(N,XS)) -> U31(tt(),N) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) sel(N,XS) -> U41(tt(),N,XS) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) tail(cons(N,XS)) -> U71(tt(),activate(XS)) take(N,XS) -> U81(tt(),N,XS) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/3,c_2/4,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/3,c_8/4,c_9/2,c_10/1,c_11/4 ,c_12/4,c_13/5,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/3,c_18/4,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/2,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: UsableRules + Details: We replace rewrite rules by usable rules: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) activate#(X) -> c_19() activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) natsFrom#(N) -> c_24() natsFrom#(X) -> c_25() sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) splitAt#(0(),XS) -> c_28() splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) * Step 3: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) activate#(X) -> c_19() activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) natsFrom#(N) -> c_24() natsFrom#(X) -> c_25() sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) splitAt#(0(),XS) -> c_28() splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) - Weak TRS: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/3,c_2/4,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/3,c_8/4,c_9/2,c_10/1,c_11/4 ,c_12/4,c_13/5,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/3,c_18/4,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/2,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {19,24,25,28} by application of Pre({19,24,25,28}) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,20,29,30}. Here rules are labelled as follows: 1: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 2: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 3: U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) 4: U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) 5: U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) 6: U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) 7: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 8: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 9: U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) 10: U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) 11: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) 12: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) 13: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) 14: U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) 15: U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 16: U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) 17: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 18: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 19: activate#(X) -> c_19() 20: activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) 21: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 22: fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) 23: head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) 24: natsFrom#(N) -> c_24() 25: natsFrom#(X) -> c_25() 26: sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) 27: snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) 28: splitAt#(0(),XS) -> c_28() 29: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) 30: tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 31: take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) * Step 4: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) - Weak DPs: activate#(X) -> c_19() natsFrom#(N) -> c_24() natsFrom#(X) -> c_25() splitAt#(0(),XS) -> c_28() - Weak TRS: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/3,c_2/4,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/3,c_8/4,c_9/2,c_10/1,c_11/4 ,c_12/4,c_13/5,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/3,c_18/4,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/2,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {19} by application of Pre({19}) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,25,26}. Here rules are labelled as follows: 1: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 2: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 3: U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) 4: U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) 5: U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) 6: U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) 7: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 8: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 9: U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) 10: U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) 11: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) 12: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) 13: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) 14: U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) 15: U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 16: U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) 17: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 18: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 19: activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) 20: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 21: fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) 22: head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) 23: sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) 24: snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) 25: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) 26: tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 27: take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) 28: activate#(X) -> c_19() 29: natsFrom#(N) -> c_24() 30: natsFrom#(X) -> c_25() 31: splitAt#(0(),XS) -> c_28() * Step 5: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) - Weak DPs: activate#(X) -> c_19() activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) natsFrom#(N) -> c_24() natsFrom#(X) -> c_25() splitAt#(0(),XS) -> c_28() - Weak TRS: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/3,c_2/4,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/3,c_8/4,c_9/2,c_10/1,c_11/4 ,c_12/4,c_13/5,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/3,c_18/4,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/2,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {4,6,10,14,16} by application of Pre({4,6,10,14,16}) = {3,5,9,13,15}. Here rules are labelled as follows: 1: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 2: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 3: U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) 4: U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) 5: U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) 6: U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) 7: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 8: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 9: U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) 10: U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) 11: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) 12: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) 13: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) 14: U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) 15: U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 16: U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) 17: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 18: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 19: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 20: fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) 21: head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) 22: sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) 23: snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) 24: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) 25: tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 26: take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) 27: activate#(X) -> c_19() 28: activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) 29: natsFrom#(N) -> c_24() 30: natsFrom#(X) -> c_25() 31: splitAt#(0(),XS) -> c_28() * Step 6: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) - Weak DPs: U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) activate#(X) -> c_19() activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) natsFrom#(N) -> c_24() natsFrom#(X) -> c_25() splitAt#(0(),XS) -> c_28() - Weak TRS: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/3,c_2/4,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/3,c_8/4,c_9/2,c_10/1,c_11/4 ,c_12/4,c_13/5,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/3,c_18/4,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/2,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {3,4,7,11} by application of Pre({3,4,7,11}) = {15,16,18,20}. Here rules are labelled as follows: 1: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 2: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 3: U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) 4: U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) 5: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 6: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 7: U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) 8: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) 9: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) 10: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) 11: U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 12: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 13: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 14: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 15: fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) 16: head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) 17: sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) 18: snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) 19: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) 20: tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 21: take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) 22: U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) 23: U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) 24: U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) 25: U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) 26: U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) 27: activate#(X) -> c_19() 28: activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) 29: natsFrom#(N) -> c_24() 30: natsFrom#(X) -> c_25() 31: splitAt#(0(),XS) -> c_28() * Step 7: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) - Weak DPs: U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) activate#(X) -> c_19() activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) natsFrom#(N) -> c_24() natsFrom#(X) -> c_25() splitAt#(0(),XS) -> c_28() - Weak TRS: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/3,c_2/4,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/3,c_8/4,c_9/2,c_10/1,c_11/4 ,c_12/4,c_13/5,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/3,c_18/4,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/2,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {11,12,14,16} by application of Pre({11,12,14,16}) = {2,4,9}. Here rules are labelled as follows: 1: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 2: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 3: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 4: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 5: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) 6: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) 7: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) 8: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) 9: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) 10: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 11: fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) 12: head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) 13: sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) 14: snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) 15: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) 16: tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 17: take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) 18: U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) 19: U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) 20: U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) 21: U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) 22: U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) 23: U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) 24: U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) 25: U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 26: U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) 27: activate#(X) -> c_19() 28: activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) 29: natsFrom#(N) -> c_24() 30: natsFrom#(X) -> c_25() 31: splitAt#(0(),XS) -> c_28() * Step 8: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) - Weak DPs: U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) activate#(X) -> c_19() activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) natsFrom#(N) -> c_24() natsFrom#(X) -> c_25() snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) splitAt#(0(),XS) -> c_28() tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) - Weak TRS: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/3,c_2/4,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/3,c_8/4,c_9/2,c_10/1,c_11/4 ,c_12/4,c_13/5,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/3,c_18/4,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/2,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: RemoveWeakSuffixes + Details: Consider the dependency graph 1:S:U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) -->_3 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)):2 -->_3 activate#(X) -> c_19():23 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 2:S:U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) -->_1 snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)):29 -->_4 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_3 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_2 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)):12 -->_2 splitAt#(0(),XS) -> c_28():30 -->_4 activate#(X) -> c_19():23 -->_3 activate#(X) -> c_19():23 3:S:U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) -->_3 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)):4 -->_3 activate#(X) -> c_19():23 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 4:S:U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) -->_1 head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)):26 -->_4 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_3 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_2 afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)):10 -->_4 activate#(X) -> c_19():23 -->_3 activate#(X) -> c_19():23 5:S:U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) -->_4 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_3 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)):6 -->_4 activate#(X) -> c_19():23 -->_3 activate#(X) -> c_19():23 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 6:S:U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) -->_4 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_3 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)):7 -->_4 activate#(X) -> c_19():23 -->_3 activate#(X) -> c_19():23 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 7:S:U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) -->_5 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_4 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_3 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)):20 -->_2 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)):12 -->_2 splitAt#(0(),XS) -> c_28():30 -->_5 activate#(X) -> c_19():23 -->_4 activate#(X) -> c_19():23 -->_3 activate#(X) -> c_19():23 8:S:U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) -->_3 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)):9 -->_3 activate#(X) -> c_19():23 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 9:S:U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) -->_1 fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)):25 -->_4 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_3 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_2 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)):12 -->_2 splitAt#(0(),XS) -> c_28():30 -->_4 activate#(X) -> c_19():23 -->_3 activate#(X) -> c_19():23 10:S:afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) -->_1 U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)):1 11:S:sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) -->_1 U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)):3 12:S:splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 -->_1 U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)):5 13:S:take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) -->_1 U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)):8 14:W:U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)):15 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 15:W:U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) -->_1 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 activate#(X) -> c_19():23 16:W:U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)):17 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 17:W:U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) -->_1 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 activate#(X) -> c_19():23 18:W:U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)):19 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 19:W:U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) -->_1 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 activate#(X) -> c_19():23 20:W:U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) -->_1 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 activate#(X) -> c_19():23 21:W:U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)):22 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 22:W:U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) -->_1 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_1 activate#(X) -> c_19():23 23:W:activate#(X) -> c_19() 24:W:activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) -->_1 natsFrom#(X) -> c_25():28 -->_1 natsFrom#(N) -> c_24():27 25:W:fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) -->_1 U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)):14 26:W:head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) -->_1 U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)):16 27:W:natsFrom#(N) -> c_24() 28:W:natsFrom#(X) -> c_25() 29:W:snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) -->_1 U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)):18 30:W:splitAt#(0(),XS) -> c_28() 31:W:tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) -->_2 activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)):24 -->_2 activate#(X) -> c_19():23 -->_1 U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)):21 The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed. 31: tail#(cons(N,XS)) -> c_30(U71#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 21: U71#(tt(),XS) -> c_15(U72#(tt(),activate(XS)),activate#(XS)) 22: U72#(tt(),XS) -> c_16(activate#(XS)) 25: fst#(pair(X,Y)) -> c_22(U21#(tt(),X)) 14: U21#(tt(),X) -> c_3(U22#(tt(),activate(X)),activate#(X)) 15: U22#(tt(),X) -> c_4(activate#(X)) 26: head#(cons(N,XS)) -> c_23(U31#(tt(),N)) 16: U31#(tt(),N) -> c_5(U32#(tt(),activate(N)),activate#(N)) 17: U32#(tt(),N) -> c_6(activate#(N)) 30: splitAt#(0(),XS) -> c_28() 20: U64#(pair(YS,ZS),X) -> c_14(activate#(X)) 29: snd#(pair(X,Y)) -> c_27(U51#(tt(),Y)) 18: U51#(tt(),Y) -> c_9(U52#(tt(),activate(Y)),activate#(Y)) 19: U52#(tt(),Y) -> c_10(activate#(Y)) 23: activate#(X) -> c_19() 24: activate#(n__natsFrom(X)) -> c_20(natsFrom#(X)) 27: natsFrom#(N) -> c_24() 28: natsFrom#(X) -> c_25() * Step 9: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) - Weak TRS: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/3,c_2/4,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/3,c_8/4,c_9/2,c_10/1,c_11/4 ,c_12/4,c_13/5,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/3,c_18/4,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/2,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: SimplifyRHS + Details: Consider the dependency graph 1:S:U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) -->_1 U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)):2 2:S:U12#(tt(),N,XS) -> c_2(snd#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) -->_2 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)):12 3:S:U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) -->_1 U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)):4 4:S:U42#(tt(),N,XS) -> c_8(head#(afterNth(activate(N),activate(XS))) ,afterNth#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) -->_2 afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)):10 5:S:U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) -->_1 U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)):6 6:S:U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)) -->_1 U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)):7 7:S:U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(U64#(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS) ,activate#(X)) -->_2 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)):12 8:S:U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)) -->_1 U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)):9 9:S:U82#(tt(),N,XS) -> c_18(fst#(splitAt(activate(N),activate(XS))) ,splitAt#(activate(N),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(XS)) -->_2 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)):12 10:S:afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) -->_1 U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)):1 11:S:sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) -->_1 U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)):3 12:S:splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS)),activate#(XS)) -->_1 U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) ,activate#(N) ,activate#(X) ,activate#(XS)):5 13:S:take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) -->_1 U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS)),activate#(N),activate#(XS)):8 Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) * Step 10: UsableRules WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) - Weak TRS: U11(tt(),N,XS) -> U12(tt(),activate(N),activate(XS)) U12(tt(),N,XS) -> snd(splitAt(activate(N),activate(XS))) U51(tt(),Y) -> U52(tt(),activate(Y)) U52(tt(),Y) -> activate(Y) U61(tt(),N,X,XS) -> U62(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U62(tt(),N,X,XS) -> U63(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS)) U63(tt(),N,X,XS) -> U64(splitAt(activate(N),activate(XS)),activate(X)) U64(pair(YS,ZS),X) -> pair(cons(activate(X),YS),ZS) activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) afterNth(N,XS) -> U11(tt(),N,XS) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) snd(pair(X,Y)) -> U51(tt(),Y) splitAt(0(),XS) -> pair(nil(),XS) splitAt(s(N),cons(X,XS)) -> U61(tt(),N,X,activate(XS)) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: UsableRules + Details: We replace rewrite rules by usable rules: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) * Step 11: RemoveHeads WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: RemoveHeads + Details: Consider the dependency graph 1:S:U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) -->_1 U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))):2 2:S:U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) -->_1 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))):12 3:S:U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) -->_1 U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))):4 4:S:U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) -->_1 afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)):10 5:S:U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) -->_1 U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))):6 6:S:U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) -->_1 U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))):7 7:S:U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) -->_1 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))):12 8:S:U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) -->_1 U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))):9 9:S:U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) -->_1 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))):12 10:S:afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) -->_1 U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))):1 11:S:sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS)) -->_1 U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))):3 12:S:splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) -->_1 U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))):5 13:S:take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)) -->_1 U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))):8 Following roots of the dependency graph are removed, as the considered set of starting terms is closed under reduction with respect to these rules (modulo compound contexts). [(11,sel#(N,XS) -> c_26(U41#(tt(),N,XS))),(13,take#(N,XS) -> c_31(U81#(tt(),N,XS)))] * Step 12: Decompose WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd} + Details: We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S). Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component. Problem (R) - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak DPs: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3 ,U82/3,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3 ,U21#/2,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3 ,U82#/3,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1 ,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1 ,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} Problem (S) - Strict DPs: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) - Weak DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3 ,U82/3,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3 ,U21#/2,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3 ,U82#/3,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1 ,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1 ,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} ** Step 12.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak DPs: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}} + Details: We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly: 1: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) 2: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 5: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 12: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) Consider the set of all dependency pairs 1: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) 2: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 3: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) 4: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) 5: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 6: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 7: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 8: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) 9: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 10: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 12: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) Processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}induces the complexity certificateTIME (?,O(n^1)) SPACE(?,?)on application of the dependency pairs {1,2,5,12} These cover all (indirect) predecessors of dependency pairs {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12} their number of applications is equally bounded. The dependency pairs are shifted into the weak component. *** Step 12.a:1.a:1: NaturalMI WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak DPs: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules} + Details: We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation: The following argument positions are considered usable: uargs(c_1) = {1}, uargs(c_2) = {1}, uargs(c_7) = {1}, uargs(c_8) = {1}, uargs(c_11) = {1}, uargs(c_12) = {1}, uargs(c_13) = {1}, uargs(c_17) = {1}, uargs(c_18) = {1}, uargs(c_21) = {1}, uargs(c_29) = {1} Following symbols are considered usable: {activate,natsFrom,U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61#,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81# ,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail#,take#} TcT has computed the following interpretation: p(0) = [0] p(U11) = [2] x1 + [1] x2 + [1] x3 + [0] p(U12) = [1] x3 + [2] p(U21) = [1] x2 + [0] p(U22) = [1] x1 + [0] p(U31) = [2] x2 + [0] p(U32) = [2] x1 + [2] x2 + [1] p(U41) = [2] x2 + [1] x3 + [0] p(U42) = [1] x3 + [1] p(U51) = [2] x2 + [4] p(U52) = [1] x1 + [2] p(U61) = [1] x2 + [0] p(U62) = [1] x2 + [2] x3 + [1] x4 + [1] p(U63) = [1] x2 + [4] x3 + [0] p(U64) = [1] x2 + [1] p(U71) = [1] x1 + [1] p(U72) = [1] x2 + [2] p(U81) = [2] x1 + [1] x2 + [4] x3 + [0] p(U82) = [1] x2 + [0] p(activate) = [1] x1 + [0] p(afterNth) = [0] p(cons) = [0] p(fst) = [1] p(head) = [0] p(n__natsFrom) = [0] p(natsFrom) = [0] p(nil) = [0] p(pair) = [1] x1 + [4] p(s) = [1] x1 + [2] p(sel) = [1] x1 + [1] x2 + [1] p(snd) = [0] p(splitAt) = [4] x2 + [1] p(tail) = [2] x1 + [0] p(take) = [1] p(tt) = [1] p(U11#) = [1] x1 + [4] x2 + [6] p(U12#) = [6] x1 + [4] x2 + [0] p(U21#) = [1] x1 + [0] p(U22#) = [2] x2 + [4] p(U31#) = [1] x2 + [1] p(U32#) = [0] p(U41#) = [5] x1 + [4] x2 + [6] p(U42#) = [1] x1 + [4] x2 + [6] p(U51#) = [1] x1 + [2] p(U52#) = [4] x1 + [0] p(U61#) = [4] x1 + [4] x2 + [3] p(U62#) = [4] x1 + [4] x2 + [1] p(U63#) = [1] x1 + [4] x2 + [4] p(U64#) = [1] x2 + [1] p(U71#) = [4] x1 + [0] p(U72#) = [2] p(U81#) = [4] x1 + [4] x2 + [1] x3 + [6] p(U82#) = [4] x2 + [6] p(activate#) = [2] p(afterNth#) = [4] x1 + [7] p(fst#) = [0] p(head#) = [1] p(natsFrom#) = [0] p(sel#) = [1] x1 + [4] p(snd#) = [4] x1 + [0] p(splitAt#) = [4] x1 + [5] p(tail#) = [1] x1 + [0] p(take#) = [0] p(c_1) = [1] x1 + [0] p(c_2) = [1] x1 + [0] p(c_3) = [1] x1 + [4] p(c_4) = [4] p(c_5) = [2] x2 + [1] p(c_6) = [1] p(c_7) = [1] x1 + [4] p(c_8) = [1] x1 + [0] p(c_9) = [1] x1 + [4] x2 + [4] p(c_10) = [4] x1 + [0] p(c_11) = [1] x1 + [0] p(c_12) = [1] x1 + [0] p(c_13) = [1] x1 + [0] p(c_14) = [0] p(c_15) = [0] p(c_16) = [1] x1 + [0] p(c_17) = [1] x1 + [4] p(c_18) = [1] x1 + [0] p(c_19) = [0] p(c_20) = [1] p(c_21) = [1] x1 + [0] p(c_22) = [1] p(c_23) = [1] x1 + [4] p(c_24) = [1] p(c_25) = [0] p(c_26) = [1] x1 + [1] p(c_27) = [1] x1 + [0] p(c_28) = [1] p(c_29) = [1] x1 + [5] p(c_30) = [2] p(c_31) = [1] x1 + [0] Following rules are strictly oriented: U11#(tt(),N,XS) = [4] N + [7] > [4] N + [6] = c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) = [4] N + [6] > [4] N + [5] = c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) = [4] N + [7] > [4] N + [5] = c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) = [4] N + [13] > [4] N + [12] = c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) Following rules are (at-least) weakly oriented: U41#(tt(),N,XS) = [4] N + [11] >= [4] N + [11] = c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) = [4] N + [7] >= [4] N + [7] = c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) = [4] N + [5] >= [4] N + [5] = c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) = [4] N + [5] >= [4] N + [5] = c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) = [4] N + [1] XS + [10] >= [4] N + [10] = c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) = [4] N + [6] >= [4] N + [5] = c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) = [4] N + [7] >= [4] N + [7] = c_21(U11#(tt(),N,XS)) activate(X) = [1] X + [0] >= [1] X + [0] = X activate(n__natsFrom(X)) = [0] >= [0] = natsFrom(X) natsFrom(N) = [0] >= [0] = cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) = [0] >= [0] = n__natsFrom(X) *** Step 12.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) - Weak DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}} + Details: () *** Step 12.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Weak DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: RemoveWeakSuffixes + Details: Consider the dependency graph 1:W:U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) -->_1 U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))):2 2:W:U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) -->_1 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))):11 3:W:U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) -->_1 U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))):4 4:W:U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) -->_1 afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)):10 5:W:U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) -->_1 U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))):6 6:W:U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) -->_1 U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))):7 7:W:U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) -->_1 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))):11 8:W:U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) -->_1 U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))):9 9:W:U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) -->_1 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))):11 10:W:afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) -->_1 U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))):1 11:W:splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) -->_1 U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))):5 The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed. 8: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) 9: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 3: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) 4: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) 10: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 1: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) 2: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 11: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) 7: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 6: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 5: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) *** Step 12.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: EmptyProcessor + Details: The problem is already closed. The intended complexity is O(1). ** Step 12.b:1: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) - Weak DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {4,5} by application of Pre({4,5}) = {2,3}. Here rules are labelled as follows: 1: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) 2: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) 3: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) 4: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 5: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 6: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) 7: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 8: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 9: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 10: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 11: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) ** Step 12.b:2: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) - Weak DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {2,3} by application of Pre({2,3}) = {1}. Here rules are labelled as follows: 1: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) 2: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) 3: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) 4: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) 5: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 6: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 7: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 8: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 9: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 10: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 11: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) ** Step 12.b:3: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Strict DPs: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) - Weak DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {1} by application of Pre({1}) = {}. Here rules are labelled as follows: 1: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) 2: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) 3: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 4: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) 5: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 6: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 7: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 8: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) 9: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 10: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 11: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) ** Step 12.b:4: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Weak DPs: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: RemoveWeakSuffixes + Details: Consider the dependency graph 1:W:U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) -->_1 U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))):2 2:W:U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) -->_1 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))):11 3:W:U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) -->_1 U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))):4 4:W:U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) -->_1 afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)):10 5:W:U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) -->_1 U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))):6 6:W:U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) -->_1 U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))):7 7:W:U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) -->_1 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))):11 8:W:U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) -->_1 U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))):9 9:W:U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) -->_1 splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))):11 10:W:afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) -->_1 U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))):1 11:W:splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) -->_1 U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))):5 The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed. 8: U81#(tt(),N,XS) -> c_17(U82#(tt(),activate(N),activate(XS))) 9: U82#(tt(),N,XS) -> c_18(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 3: U41#(tt(),N,XS) -> c_7(U42#(tt(),activate(N),activate(XS))) 4: U42#(tt(),N,XS) -> c_8(afterNth#(activate(N),activate(XS))) 10: afterNth#(N,XS) -> c_21(U11#(tt(),N,XS)) 1: U11#(tt(),N,XS) -> c_1(U12#(tt(),activate(N),activate(XS))) 2: U12#(tt(),N,XS) -> c_2(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 11: splitAt#(s(N),cons(X,XS)) -> c_29(U61#(tt(),N,X,activate(XS))) 7: U63#(tt(),N,X,XS) -> c_13(splitAt#(activate(N),activate(XS))) 6: U62#(tt(),N,X,XS) -> c_12(U63#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) 5: U61#(tt(),N,X,XS) -> c_11(U62#(tt(),activate(N),activate(X),activate(XS))) ** Step 12.b:5: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Weak TRS: activate(X) -> X activate(n__natsFrom(X)) -> natsFrom(X) natsFrom(N) -> cons(N,n__natsFrom(s(N))) natsFrom(X) -> n__natsFrom(X) - Signature: {U11/3,U12/3,U21/2,U22/2,U31/2,U32/2,U41/3,U42/3,U51/2,U52/2,U61/4,U62/4,U63/4,U64/2,U71/2,U72/2,U81/3,U82/3 ,activate/1,afterNth/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,U11#/3,U12#/3,U21#/2 ,U22#/2,U31#/2,U32#/2,U41#/3,U42#/3,U51#/2,U52#/2,U61#/4,U62#/4,U63#/4,U64#/2,U71#/2,U72#/2,U81#/3,U82#/3 ,activate#/1,afterNth#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1,take#/2} / {0/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/1,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/2,c_6/1,c_7/1,c_8/1,c_9/2,c_10/1,c_11/1 ,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/2,c_16/1,c_17/1,c_18/1,c_19/0,c_20/1,c_21/1,c_22/1,c_23/1,c_24/0,c_25/0,c_26/1 ,c_27/1,c_28/0,c_29/1,c_30/2,c_31/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {U11#,U12#,U21#,U22#,U31#,U32#,U41#,U42#,U51#,U52#,U61# ,U62#,U63#,U64#,U71#,U72#,U81#,U82#,activate#,afterNth#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail# ,take#} and constructors {0,cons,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: EmptyProcessor + Details: The problem is already closed. The intended complexity is O(1). WORST_CASE(?,O(n^1))