WORST_CASE(?,O(n^2)) * Step 1: Sum WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict TRS: #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() nub(@l) -> nub#1(@l) nub#1(::(@x,@xs)) -> ::(@x,nub(remove(@x,@xs))) nub#1(nil()) -> nil() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4} / {#0/0 ,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and,#eq,#equal,and,eq,eq#1,eq#2,eq#3,nub,nub#1,remove ,remove#1,remove#2} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: Sum {left = someStrategy, right = someStrategy} + Details: () * Step 2: DependencyPairs WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict TRS: #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() nub(@l) -> nub#1(@l) nub#1(::(@x,@xs)) -> ::(@x,nub(remove(@x,@xs))) nub#1(nil()) -> nil() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4} / {#0/0 ,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and,#eq,#equal,and,eq,eq#1,eq#2,eq#3,nub,nub#1,remove ,remove#1,remove#2} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: DependencyPairs {dpKind_ = DT} + Details: We add the following dependency tuples: Strict DPs #equal#(@x,@y) -> c_1(#eq#(@x,@y)) and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)) eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)) eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6() eq#2#(nil()) -> c_7() eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9() nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) nub#1#(nil()) -> c_12() remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#1#(nil(),@x) -> c_15() remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) Weak DPs #and#(#false(),#false()) -> c_18() #and#(#false(),#true()) -> c_19() #and#(#true(),#false()) -> c_20() #and#(#true(),#true()) -> c_21() #eq#(#0(),#0()) -> c_22() #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23() #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24() #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25() #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26() #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)) #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28() #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29() #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30() #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)) #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32() #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)) #eq#(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> c_34(#and#(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) ,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)) #eq#(::(@x_1,@x_2),nil()) -> c_35() #eq#(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> c_36() #eq#(nil(),nil()) -> c_37() and mark the set of starting terms. * Step 3: UsableRules WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: #equal#(@x,@y) -> c_1(#eq#(@x,@y)) and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)) eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)) eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6() eq#2#(nil()) -> c_7() eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9() nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) nub#1#(nil()) -> c_12() remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#1#(nil(),@x) -> c_15() remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak DPs: #and#(#false(),#false()) -> c_18() #and#(#false(),#true()) -> c_19() #and#(#true(),#false()) -> c_20() #and#(#true(),#true()) -> c_21() #eq#(#0(),#0()) -> c_22() #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23() #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24() #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25() #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26() #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)) #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28() #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29() #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30() #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)) #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32() #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)) #eq#(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> c_34(#and#(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) ,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)) #eq#(::(@x_1,@x_2),nil()) -> c_35() #eq#(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> c_36() #eq#(nil(),nil()) -> c_37() - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() nub(@l) -> nub#1(@l) nub#1(::(@x,@xs)) -> ::(@x,nub(remove(@x,@xs))) nub#1(nil()) -> nil() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/3,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: UsableRules + Details: We replace rewrite rules by usable rules: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) #and#(#false(),#false()) -> c_18() #and#(#false(),#true()) -> c_19() #and#(#true(),#false()) -> c_20() #and#(#true(),#true()) -> c_21() #eq#(#0(),#0()) -> c_22() #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23() #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24() #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25() #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26() #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)) #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28() #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29() #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30() #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)) #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32() #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)) #eq#(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> c_34(#and#(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) ,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)) #eq#(::(@x_1,@x_2),nil()) -> c_35() #eq#(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> c_36() #eq#(nil(),nil()) -> c_37() #equal#(@x,@y) -> c_1(#eq#(@x,@y)) and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)) eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)) eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6() eq#2#(nil()) -> c_7() eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9() nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) nub#1#(nil()) -> c_12() remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#1#(nil(),@x) -> c_15() remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) * Step 4: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: #equal#(@x,@y) -> c_1(#eq#(@x,@y)) and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)) eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)) eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6() eq#2#(nil()) -> c_7() eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9() nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) nub#1#(nil()) -> c_12() remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#1#(nil(),@x) -> c_15() remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak DPs: #and#(#false(),#false()) -> c_18() #and#(#false(),#true()) -> c_19() #and#(#true(),#false()) -> c_20() #and#(#true(),#true()) -> c_21() #eq#(#0(),#0()) -> c_22() #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23() #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24() #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25() #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26() #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)) #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28() #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29() #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30() #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)) #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32() #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)) #eq#(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> c_34(#and#(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) ,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)) #eq#(::(@x_1,@x_2),nil()) -> c_35() #eq#(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> c_36() #eq#(nil(),nil()) -> c_37() - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/3,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {1,2,6,7,9,12,15} by application of Pre({1,2,6,7,9,12,15}) = {4,5,8,10,13}. Here rules are labelled as follows: 1: #equal#(@x,@y) -> c_1(#eq#(@x,@y)) 2: and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)) 3: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) 4: eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) 5: eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)) 6: eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6() 7: eq#2#(nil()) -> c_7() 8: eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) 9: eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9() 10: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) 11: nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) 12: nub#1#(nil()) -> c_12() 13: remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) 14: remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) 15: remove#1#(nil(),@x) -> c_15() 16: remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) 17: remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) 18: #and#(#false(),#false()) -> c_18() 19: #and#(#false(),#true()) -> c_19() 20: #and#(#true(),#false()) -> c_20() 21: #and#(#true(),#true()) -> c_21() 22: #eq#(#0(),#0()) -> c_22() 23: #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23() 24: #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24() 25: #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25() 26: #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26() 27: #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)) 28: #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28() 29: #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29() 30: #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30() 31: #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)) 32: #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32() 33: #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)) 34: #eq#(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> c_34(#and#(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) ,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)) 35: #eq#(::(@x_1,@x_2),nil()) -> c_35() 36: #eq#(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> c_36() 37: #eq#(nil(),nil()) -> c_37() * Step 5: PredecessorEstimation WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak DPs: #and#(#false(),#false()) -> c_18() #and#(#false(),#true()) -> c_19() #and#(#true(),#false()) -> c_20() #and#(#true(),#true()) -> c_21() #eq#(#0(),#0()) -> c_22() #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23() #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24() #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25() #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26() #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)) #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28() #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29() #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30() #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)) #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32() #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)) #eq#(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> c_34(#and#(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) ,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)) #eq#(::(@x_1,@x_2),nil()) -> c_35() #eq#(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> c_36() #eq#(nil(),nil()) -> c_37() #equal#(@x,@y) -> c_1(#eq#(@x,@y)) and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)) eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6() eq#2#(nil()) -> c_7() eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9() nub#1#(nil()) -> c_12() remove#1#(nil(),@x) -> c_15() - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/3,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {3} by application of Pre({3}) = {1}. Here rules are labelled as follows: 1: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) 2: eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) 3: eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)) 4: eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) 5: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) 6: nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) 7: remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) 8: remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) 9: remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) 10: remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) 11: #and#(#false(),#false()) -> c_18() 12: #and#(#false(),#true()) -> c_19() 13: #and#(#true(),#false()) -> c_20() 14: #and#(#true(),#true()) -> c_21() 15: #eq#(#0(),#0()) -> c_22() 16: #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23() 17: #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24() 18: #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25() 19: #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26() 20: #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)) 21: #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28() 22: #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29() 23: #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30() 24: #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)) 25: #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32() 26: #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)) 27: #eq#(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> c_34(#and#(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) ,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)) 28: #eq#(::(@x_1,@x_2),nil()) -> c_35() 29: #eq#(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> c_36() 30: #eq#(nil(),nil()) -> c_37() 31: #equal#(@x,@y) -> c_1(#eq#(@x,@y)) 32: and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)) 33: eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6() 34: eq#2#(nil()) -> c_7() 35: eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9() 36: nub#1#(nil()) -> c_12() 37: remove#1#(nil(),@x) -> c_15() * Step 6: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak DPs: #and#(#false(),#false()) -> c_18() #and#(#false(),#true()) -> c_19() #and#(#true(),#false()) -> c_20() #and#(#true(),#true()) -> c_21() #eq#(#0(),#0()) -> c_22() #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23() #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24() #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25() #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26() #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)) #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28() #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29() #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30() #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)) #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32() #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)) #eq#(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> c_34(#and#(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) ,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)) #eq#(::(@x_1,@x_2),nil()) -> c_35() #eq#(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> c_36() #eq#(nil(),nil()) -> c_37() #equal#(@x,@y) -> c_1(#eq#(@x,@y)) and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)) eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)) eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6() eq#2#(nil()) -> c_7() eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9() nub#1#(nil()) -> c_12() remove#1#(nil(),@x) -> c_15() - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/3,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: RemoveWeakSuffixes + Details: Consider the dependency graph 1:S:eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) -->_1 eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)):32 -->_1 eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)):2 2:S:eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) -->_1 eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)):3 -->_1 eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9():35 3:S:eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) -->_1 and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)):31 -->_2 #equal#(@x,@y) -> c_1(#eq#(@x,@y)):30 -->_3 eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)):1 4:S:nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) -->_1 nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)):5 -->_1 nub#1#(nil()) -> c_12():36 5:S:nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) -->_2 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):6 -->_1 nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)):4 6:S:remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) -->_1 remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)):7 -->_1 remove#1#(nil(),@x) -> c_15():37 7:S:remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) -->_1 remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)):9 -->_1 remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)):8 -->_2 eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)):1 8:S:remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):6 9:S:remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):6 10:W:#and#(#false(),#false()) -> c_18() 11:W:#and#(#false(),#true()) -> c_19() 12:W:#and#(#true(),#false()) -> c_20() 13:W:#and#(#true(),#true()) -> c_21() 14:W:#eq#(#0(),#0()) -> c_22() 15:W:#eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23() 16:W:#eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24() 17:W:#eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25() 18:W:#eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26() 19:W:#eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)) -->_1 #eq#(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> c_34(#and#(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) ,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)):26 -->_1 #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)):25 -->_1 #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)):23 -->_1 #eq#(nil(),nil()) -> c_37():29 -->_1 #eq#(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> c_36():28 -->_1 #eq#(::(@x_1,@x_2),nil()) -> c_35():27 -->_1 #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32():24 -->_1 #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30():22 -->_1 #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29():21 -->_1 #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28():20 -->_1 #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)):19 -->_1 #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26():18 -->_1 #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25():17 -->_1 #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24():16 -->_1 #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23():15 -->_1 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,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)):26 -->_1 #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)):25 -->_1 #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32():24 -->_1 #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)):23 -->_1 #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30():22 -->_1 #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29():21 -->_1 #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28():20 -->_1 #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)):19 -->_1 #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26():18 -->_1 #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25():17 -->_1 #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24():16 -->_1 #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23():15 -->_1 #eq#(#0(),#0()) -> c_22():14 31:W:and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)) -->_1 #and#(#true(),#true()) -> c_21():13 -->_1 #and#(#true(),#false()) -> c_20():12 -->_1 #and#(#false(),#true()) -> c_19():11 -->_1 #and#(#false(),#false()) -> c_18():10 32:W:eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)) -->_1 eq#2#(nil()) -> c_7():34 -->_1 eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6():33 33:W:eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6() 34:W:eq#2#(nil()) -> c_7() 35:W:eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9() 36:W:nub#1#(nil()) -> c_12() 37:W:remove#1#(nil(),@x) -> c_15() The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed. 36: nub#1#(nil()) -> c_12() 37: remove#1#(nil(),@x) -> c_15() 35: eq#3#(nil(),@x,@xs) -> c_9() 30: #equal#(@x,@y) -> c_1(#eq#(@x,@y)) 26: #eq#(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> c_34(#and#(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) ,#eq#(@x_1,@y_1) ,#eq#(@x_2,@y_2)) 25: #eq#(#s(@x),#s(@y)) -> c_33(#eq#(@x,@y)) 23: #eq#(#pos(@x),#pos(@y)) -> c_31(#eq#(@x,@y)) 19: #eq#(#neg(@x),#neg(@y)) -> c_27(#eq#(@x,@y)) 14: #eq#(#0(),#0()) -> c_22() 15: #eq#(#0(),#neg(@y)) -> c_23() 16: #eq#(#0(),#pos(@y)) -> c_24() 17: #eq#(#0(),#s(@y)) -> c_25() 18: #eq#(#neg(@x),#0()) -> c_26() 20: #eq#(#neg(@x),#pos(@y)) -> c_28() 21: #eq#(#pos(@x),#0()) -> c_29() 22: #eq#(#pos(@x),#neg(@y)) -> c_30() 24: #eq#(#s(@x),#0()) -> c_32() 27: #eq#(::(@x_1,@x_2),nil()) -> c_35() 28: #eq#(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> c_36() 29: #eq#(nil(),nil()) -> c_37() 31: and#(@x,@y) -> c_2(#and#(@x,@y)) 10: #and#(#false(),#false()) -> c_18() 11: #and#(#false(),#true()) -> c_19() 12: #and#(#true(),#false()) -> c_20() 13: #and#(#true(),#true()) -> c_21() 32: eq#1#(nil(),@l2) -> c_5(eq#2#(@l2)) 33: eq#2#(::(@y,@ys)) -> c_6() 34: eq#2#(nil()) -> c_7() * Step 7: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/3,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: SimplifyRHS + Details: Consider the dependency graph 1:S:eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) -->_1 eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)):2 2:S:eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) -->_1 eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)):3 3:S:eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(and#(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)),#equal#(@x,@y),eq#(@xs,@ys)) -->_3 eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)):1 4:S:nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) -->_1 nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)):5 5:S:nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) -->_2 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):6 -->_1 nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)):4 6:S:remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) -->_1 remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)):7 7:S:remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) -->_1 remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)):9 -->_1 remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)):8 -->_2 eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)):1 8:S:remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):6 9:S:remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):6 Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified: eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) * Step 8: Decompose WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: Decompose {onSelection = all cycle independent sub-graph, withBound = RelativeAdd} + Details: We analyse the complexity of following sub-problems (R) and (S). Problem (S) is obtained from the input problem by shifting strict rules from (R) into the weak component. Problem (R) - Strict DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) - Weak DPs: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4 ,#and#/2,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub# ,nub#1#,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} Problem (S) - Strict DPs: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4 ,#and#/2,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub# ,nub#1#,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} ** Step 8.a:1: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) - Weak DPs: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}} + Details: We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly: 1: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) Consider the set of all dependency pairs 1: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) 2: eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) 3: eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) 4: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) 5: nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) 6: remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) 7: remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) 8: remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) 9: remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) Processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}induces the complexity certificateTIME (?,O(n^2)) SPACE(?,?)on application of the dependency pairs {1} These cover all (indirect) predecessors of dependency pairs {1,2,3} their number of applications is equally bounded. The dependency pairs are shifted into the weak component. *** Step 8.a:1.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) - Weak DPs: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules} + Details: We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)): The following argument positions are considered usable: uargs(c_3) = {1}, uargs(c_4) = {1}, uargs(c_8) = {1}, uargs(c_10) = {1}, uargs(c_11) = {1,2}, uargs(c_13) = {1}, uargs(c_14) = {1,2}, uargs(c_16) = {1}, uargs(c_17) = {1} Following symbols are considered usable: {remove,remove#1,remove#2,#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1#,remove#,remove#1# ,remove#2#} TcT has computed the following interpretation: p(#0) = 1 p(#and) = 1 p(#eq) = x1 + x2^2 p(#equal) = 1 + x1*x2 p(#false) = 0 p(#neg) = 1 p(#pos) = 1 + x1 p(#s) = x1 p(#true) = 1 p(::) = 1 + x1 + x2 p(and) = 1 p(eq) = 0 p(eq#1) = 0 p(eq#2) = 0 p(eq#3) = 1 + x1 + x1^2 p(nil) = 0 p(nub) = 0 p(nub#1) = 0 p(remove) = x2 p(remove#1) = x1 p(remove#2) = 1 + x3 + x4 p(#and#) = 0 p(#eq#) = 0 p(#equal#) = 0 p(and#) = 0 p(eq#) = 1 + x1*x2 p(eq#1#) = x1*x2 p(eq#2#) = 0 p(eq#3#) = x1 + x1*x3 p(nub#) = x1^2 p(nub#1#) = x1^2 p(remove#) = x1*x2 + x2 p(remove#1#) = x1 + x1*x2 p(remove#2#) = x2*x4 + x3 + x4 p(c_1) = 0 p(c_2) = 0 p(c_3) = x1 p(c_4) = x1 p(c_5) = 0 p(c_6) = 0 p(c_7) = 0 p(c_8) = x1 p(c_9) = 0 p(c_10) = x1 p(c_11) = x1 + x2 p(c_12) = 0 p(c_13) = x1 p(c_14) = x1 + x2 p(c_15) = 0 p(c_16) = x1 p(c_17) = x1 p(c_18) = 0 p(c_19) = 0 p(c_20) = 0 p(c_21) = 0 p(c_22) = 0 p(c_23) = 0 p(c_24) = 0 p(c_25) = 0 p(c_26) = 0 p(c_27) = 0 p(c_28) = 0 p(c_29) = 0 p(c_30) = 0 p(c_31) = 0 p(c_32) = 0 p(c_33) = 0 p(c_34) = 0 p(c_35) = 0 p(c_36) = 0 p(c_37) = 0 Following rules are strictly oriented: eq#(@l1,@l2) = 1 + @l1*@l2 > @l1*@l2 = c_3(eq#1#(@l1,@l2)) Following rules are (at-least) weakly oriented: eq#1#(::(@x,@xs),@l2) = @l2 + @l2*@x + @l2*@xs >= @l2 + @l2*@xs = c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) = 1 + @xs + @xs*@y + @xs*@ys + @y + @ys >= 1 + @xs*@ys = c_8(eq#(@xs,@ys)) nub#(@l) = @l^2 >= @l^2 = c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) = 1 + 2*@x + 2*@x*@xs + @x^2 + 2*@xs + @xs^2 >= @x*@xs + @xs + @xs^2 = c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) = @l + @l*@x >= @l + @l*@x = c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) = 1 + @x + @x*@y + @x*@ys + @y + @ys >= 1 + @x*@y + @x*@ys + @y + @ys = c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) = @x*@ys + @y + @ys >= @x*@ys + @ys = c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) = @x*@ys + @y + @ys >= @x*@ys + @ys = c_17(remove#(@x,@ys)) remove(@x,@l) = @l >= @l = remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) = 1 + @y + @ys >= 1 + @y + @ys = remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) = 0 >= 0 = nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) = 1 + @y + @ys >= 1 + @y + @ys = ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) = 1 + @y + @ys >= @ys = remove(@x,@ys) *** Step 8.a:1.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Strict DPs: eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) - Weak DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}} + Details: () *** Step 8.a:1.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Weak DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: RemoveWeakSuffixes + Details: Consider the dependency graph 1:W:eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) -->_1 eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)):2 2:W:eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) -->_1 eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)):3 3:W:eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) -->_1 eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)):1 4:W:nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) -->_1 nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)):5 5:W:nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) -->_2 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):6 -->_1 nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)):4 6:W:remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) -->_1 remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)):7 7:W:remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) -->_1 remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)):9 -->_1 remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)):8 -->_2 eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)):1 8:W:remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):6 9:W:remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):6 The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed. 4: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) 5: nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) 6: remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) 9: remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) 7: remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) 8: remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) 1: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) 3: eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) 2: eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) *** Step 8.a:1.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: EmptyProcessor + Details: The problem is already closed. The intended complexity is O(1). ** Step 8.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak DPs: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: RemoveWeakSuffixes + Details: Consider the dependency graph 1:S:nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) -->_1 nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)):2 2:S:nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) -->_2 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):3 -->_1 nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)):1 3:S:remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) -->_1 remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)):4 4:S:remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) -->_2 eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)):7 -->_1 remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)):6 -->_1 remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)):5 5:S:remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):3 6:S:remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):3 7:W:eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) -->_1 eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)):8 8:W:eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) -->_1 eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)):9 9:W:eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) -->_1 eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)):7 The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed. 7: eq#(@l1,@l2) -> c_3(eq#1#(@l1,@l2)) 9: eq#3#(::(@y,@ys),@x,@xs) -> c_8(eq#(@xs,@ys)) 8: eq#1#(::(@x,@xs),@l2) -> c_4(eq#3#(@l2,@x,@xs)) ** Step 8.b:2: SimplifyRHS WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/2,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: SimplifyRHS + Details: Consider the dependency graph 1:S:nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) -->_1 nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)):2 2:S:nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) -->_2 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):3 -->_1 nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)):1 3:S:remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) -->_1 remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)):4 4:S:remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys),eq#(@x,@y)) -->_1 remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)):6 -->_1 remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)):5 5:S:remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):3 6:S:remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):3 Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified: remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys)) ** Step 8.b:3: PredecessorEstimationCP WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/1,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}} + Details: We first use the processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly: 2: nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) 5: remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) 6: remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) Consider the set of all dependency pairs 1: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) 2: nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) 3: remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) 4: remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys)) 5: remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) 6: remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) Processor NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}induces the complexity certificateTIME (?,O(n^2)) SPACE(?,?)on application of the dependency pairs {2,5,6} These cover all (indirect) predecessors of dependency pairs {1,2,3,4,5,6} their number of applications is equally bounded. The dependency pairs are shifted into the weak component. *** Step 8.b:3.a:1: NaturalPI WORST_CASE(?,O(n^2)) + Considered Problem: - Strict DPs: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/1,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: NaturalPI {shape = Mixed 2, restrict = Restrict, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules} + Details: We apply a polynomial interpretation of kind constructor-based(mixed(2)): The following argument positions are considered usable: uargs(c_10) = {1}, uargs(c_11) = {1,2}, uargs(c_13) = {1}, uargs(c_14) = {1}, uargs(c_16) = {1}, uargs(c_17) = {1} Following symbols are considered usable: {#and,and,eq,eq#1,eq#2,eq#3,remove,remove#1,remove#2,#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub# ,nub#1#,remove#,remove#1#,remove#2#} TcT has computed the following interpretation: p(#0) = 0 p(#and) = x2 p(#eq) = 0 p(#equal) = 0 p(#false) = 1 p(#neg) = 0 p(#pos) = 0 p(#s) = 0 p(#true) = 1 p(::) = 1 + x1 + x2 p(and) = x2 p(eq) = x2 p(eq#1) = x2 p(eq#2) = x1 p(eq#3) = x1 p(nil) = 1 p(nub) = 0 p(nub#1) = 0 p(remove) = x2 p(remove#1) = x1 p(remove#2) = 1 + x3 + x4 p(#and#) = 0 p(#eq#) = 0 p(#equal#) = 0 p(and#) = 0 p(eq#) = 0 p(eq#1#) = 0 p(eq#2#) = 0 p(eq#3#) = 0 p(nub#) = 1 + x1 + x1^2 p(nub#1#) = 1 + x1 + x1^2 p(remove#) = x1*x2 + x1^2 + x2 p(remove#1#) = x1 + x1*x2 + x2^2 p(remove#2#) = x1 + x2*x4 + x2^2 + x4 p(c_1) = 0 p(c_2) = 0 p(c_3) = 0 p(c_4) = 0 p(c_5) = 0 p(c_6) = 0 p(c_7) = 0 p(c_8) = 0 p(c_9) = 0 p(c_10) = x1 p(c_11) = x1 + x2 p(c_12) = 0 p(c_13) = x1 p(c_14) = 1 + x1 p(c_15) = 0 p(c_16) = x1 p(c_17) = x1 p(c_18) = 0 p(c_19) = 0 p(c_20) = 0 p(c_21) = 0 p(c_22) = 0 p(c_23) = 0 p(c_24) = 0 p(c_25) = 0 p(c_26) = 0 p(c_27) = 0 p(c_28) = 0 p(c_29) = 0 p(c_30) = 0 p(c_31) = 0 p(c_32) = 0 p(c_33) = 0 p(c_34) = 0 p(c_35) = 0 p(c_36) = 0 p(c_37) = 0 Following rules are strictly oriented: nub#1#(::(@x,@xs)) = 3 + 3*@x + 2*@x*@xs + @x^2 + 3*@xs + @xs^2 > 1 + @x*@xs + @x^2 + 2*@xs + @xs^2 = c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) = 1 + @x*@ys + @x^2 + @ys > @x*@ys + @x^2 + @ys = c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) = 1 + @x*@ys + @x^2 + @ys > @x*@ys + @x^2 + @ys = c_17(remove#(@x,@ys)) Following rules are (at-least) weakly oriented: nub#(@l) = 1 + @l + @l^2 >= 1 + @l + @l^2 = c_10(nub#1#(@l)) remove#(@x,@l) = @l + @l*@x + @x^2 >= @l + @l*@x + @x^2 = c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) = 1 + @x + @x*@y + @x*@ys + @x^2 + @y + @ys >= 1 + @x*@ys + @x^2 + @y + @ys = c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys)) #and(#false(),#false()) = 1 >= 1 = #false() #and(#false(),#true()) = 1 >= 1 = #false() #and(#true(),#false()) = 1 >= 1 = #false() #and(#true(),#true()) = 1 >= 1 = #true() and(@x,@y) = @y >= @y = #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) = @l2 >= @l2 = eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) = @l2 >= @l2 = eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) = @l2 >= @l2 = eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) = 1 + @y + @ys >= 1 = #false() eq#2(nil()) = 1 >= 1 = #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) = 1 + @y + @ys >= @ys = and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) = 1 >= 1 = #false() remove(@x,@l) = @l >= @l = remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) = 1 + @y + @ys >= 1 + @y + @ys = remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) = 1 >= 1 = nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) = 1 + @y + @ys >= 1 + @y + @ys = ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) = 1 + @y + @ys >= @ys = remove(@x,@ys) *** Step 8.b:3.a:2: Assumption WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Strict DPs: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys)) - Weak DPs: nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/1,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown}} + Details: () *** Step 8.b:3.b:1: RemoveWeakSuffixes WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Weak DPs: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys)) remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/1,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: RemoveWeakSuffixes + Details: Consider the dependency graph 1:W:nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) -->_1 nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)):2 2:W:nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) -->_2 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):3 -->_1 nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)):1 3:W:remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) -->_1 remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys)):4 4:W:remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys)) -->_1 remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)):6 -->_1 remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)):5 5:W:remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):3 6:W:remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) -->_1 remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)):3 The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed. 1: nub#(@l) -> c_10(nub#1#(@l)) 2: nub#1#(::(@x,@xs)) -> c_11(nub#(remove(@x,@xs)),remove#(@x,@xs)) 3: remove#(@x,@l) -> c_13(remove#1#(@l,@x)) 6: remove#2#(#true(),@x,@y,@ys) -> c_17(remove#(@x,@ys)) 4: remove#1#(::(@y,@ys),@x) -> c_14(remove#2#(eq(@x,@y),@x,@y,@ys)) 5: remove#2#(#false(),@x,@y,@ys) -> c_16(remove#(@x,@ys)) *** Step 8.b:3.b:2: EmptyProcessor WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Weak TRS: #and(#false(),#false()) -> #false() #and(#false(),#true()) -> #false() #and(#true(),#false()) -> #false() #and(#true(),#true()) -> #true() #eq(#0(),#0()) -> #true() #eq(#0(),#neg(@y)) -> #false() #eq(#0(),#pos(@y)) -> #false() #eq(#0(),#s(@y)) -> #false() #eq(#neg(@x),#0()) -> #false() #eq(#neg(@x),#neg(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#neg(@x),#pos(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#0()) -> #false() #eq(#pos(@x),#neg(@y)) -> #false() #eq(#pos(@x),#pos(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(#s(@x),#0()) -> #false() #eq(#s(@x),#s(@y)) -> #eq(@x,@y) #eq(::(@x_1,@x_2),::(@y_1,@y_2)) -> #and(#eq(@x_1,@y_1),#eq(@x_2,@y_2)) #eq(::(@x_1,@x_2),nil()) -> #false() #eq(nil(),::(@y_1,@y_2)) -> #false() #eq(nil(),nil()) -> #true() #equal(@x,@y) -> #eq(@x,@y) and(@x,@y) -> #and(@x,@y) eq(@l1,@l2) -> eq#1(@l1,@l2) eq#1(::(@x,@xs),@l2) -> eq#3(@l2,@x,@xs) eq#1(nil(),@l2) -> eq#2(@l2) eq#2(::(@y,@ys)) -> #false() eq#2(nil()) -> #true() eq#3(::(@y,@ys),@x,@xs) -> and(#equal(@x,@y),eq(@xs,@ys)) eq#3(nil(),@x,@xs) -> #false() remove(@x,@l) -> remove#1(@l,@x) remove#1(::(@y,@ys),@x) -> remove#2(eq(@x,@y),@x,@y,@ys) remove#1(nil(),@x) -> nil() remove#2(#false(),@x,@y,@ys) -> ::(@y,remove(@x,@ys)) remove#2(#true(),@x,@y,@ys) -> remove(@x,@ys) - Signature: {#and/2,#eq/2,#equal/2,and/2,eq/2,eq#1/2,eq#2/1,eq#3/3,nub/1,nub#1/1,remove/2,remove#1/2,remove#2/4,#and#/2 ,#eq#/2,#equal#/2,and#/2,eq#/2,eq#1#/2,eq#2#/1,eq#3#/3,nub#/1,nub#1#/1,remove#/2,remove#1#/2 ,remove#2#/4} / {#0/0,#false/0,#neg/1,#pos/1,#s/1,#true/0,::/2,nil/0,c_1/1,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/1,c_6/0 ,c_7/0,c_8/1,c_9/0,c_10/1,c_11/2,c_12/0,c_13/1,c_14/1,c_15/0,c_16/1,c_17/1,c_18/0,c_19/0,c_20/0,c_21/0 ,c_22/0,c_23/0,c_24/0,c_25/0,c_26/0,c_27/1,c_28/0,c_29/0,c_30/0,c_31/1,c_32/0,c_33/1,c_34/3,c_35/0,c_36/0 ,c_37/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {#and#,#eq#,#equal#,and#,eq#,eq#1#,eq#2#,eq#3#,nub#,nub#1# ,remove#,remove#1#,remove#2#} and constructors {#0,#false,#neg,#pos,#s,#true,::,nil} + Applied Processor: EmptyProcessor + Details: The problem is already closed. The intended complexity is O(1). WORST_CASE(?,O(n^2))