Problem SK90 2.11

YES(?,O(n^1))

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,O(n^1)).

Strict Trs:
  { +(0(), y) -> y
  , +(s(x), y) -> s(+(x, y))
  , -(x, 0()) -> x
  , -(0(), y) -> 0()
  , -(s(x), s(y)) -> -(x, y) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,O(n^1))

The following argument positions are usable:
  Uargs(+) = {}, Uargs(s) = {1}, Uargs(-) = {}

TcT has computed following constructor-based matrix interpretation
satisfying not(EDA).

  [+](x1, x2) = [2] x1 + [1] x2 + [0]
                                     
          [0] = [2]
                   
      [s](x1) = [1] x1 + [2]
                            
  [-](x1, x2) = [1] x1 + [1]

This order satisfies following ordering constraints

      [+(0(), y)] = [1] y + [4]        
                  > [1] y + [0]        
                  = [y]                
                                       
     [+(s(x), y)] = [1] y + [2] x + [4]
                  > [1] y + [2] x + [2]
                  = [s(+(x, y))]       
                                       
      [-(x, 0())] = [1] x + [1]        
                  > [1] x + [0]        
                  = [x]                
                                       
      [-(0(), y)] = [3]                
                  > [2]                
                  = [0()]              
                                       
  [-(s(x), s(y))] = [1] x + [3]        
                  > [1] x + [1]        
                  = [-(x, y)]          
                                       

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

YES(?,ELEMENTARY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,ELEMENTARY).

Strict Trs:
  { +(0(), y) -> y
  , +(s(x), y) -> s(+(x, y))
  , -(0(), y) -> 0()
  , -(x, 0()) -> x
  , -(s(x), s(y)) -> -(x, y) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,ELEMENTARY)

The input was oriented with the instance of 'Lightweight Multiset
Path Order' as induced by the safe mapping

 safe(+) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(-) = {}

and precedence

 empty .

Following symbols are considered recursive:

 {+, -}

The recursion depth is 1.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { +(0(),  y;) -> y
   , +(s(; x),  y;) -> s(; +(x,  y;))
   , -(0(),  y;) -> 0()
   , -(x,  0();) -> x
   , -(s(; x),  s(; y);) -> -(x,  y;) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,ELEMENTARY)

YES(?,PRIMREC)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,PRIMREC).

Strict Trs:
  { +(0(), y) -> y
  , +(s(x), y) -> s(+(x, y))
  , -(0(), y) -> 0()
  , -(x, 0()) -> x
  , -(s(x), s(y)) -> -(x, y) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,PRIMREC)

The input was oriented with the instance of'multiset path orders'
as induced by the precedence

 + > s .

Hurray, we answered YES(?,PRIMREC)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { +(0(), y) -> y
  , +(s(x), y) -> s(+(x, y))
  , -(0(), y) -> 0()
  , -(x, 0()) -> x
  , -(s(x), s(y)) -> -(x, y) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order'
as induced by the safe mapping

 safe(+) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(-) = {}

and precedence

 empty .

Following symbols are considered recursive:

 {+, -}

The recursion depth is 1.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { +(0(),  y;) -> y
   , +(s(; x),  y;) -> s(; +(x,  y;))
   , -(0(),  y;) -> 0()
   , -(x,  0();) -> x
   , -(s(; x),  s(; y);) -> -(x,  y;) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { +(0(), y) -> y
  , +(s(x), y) -> s(+(x, y))
  , -(0(), y) -> 0()
  , -(x, 0()) -> x
  , -(s(x), s(y)) -> -(x, y) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order
(PS)' as induced by the safe mapping

 safe(+) = {2}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(-) = {}

and precedence

 empty .

Following symbols are considered recursive:

 {+, -}

The recursion depth is 1.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { +(0(); y) -> y
   , +(s(; x); y) -> s(; +(x; y))
   , -(0(),  y;) -> 0()
   , -(x,  0();) -> x
   , -(s(; x),  s(; y);) -> -(x,  y;) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)