Problem SK90 2.17

YES(?,O(n^1))

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,O(n^1)).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sum(x), s(x))
  , sum1(0()) -> 0()
  , sum1(s(x)) -> s(+(sum1(x), +(x, x))) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,O(n^1))

The following argument positions are usable:
  Uargs(sum) = {}, Uargs(s) = {1}, Uargs(+) = {1}, Uargs(sum1) = {}

TcT has computed following constructor-based matrix interpretation
satisfying not(EDA).

    [sum](x1) = [2] x1 + [0]
                            
          [0] = [2]
                   
      [s](x1) = [1] x1 + [2]
                            
  [+](x1, x2) = [1] x1 + [0]
                            
   [sum1](x1) = [2] x1 + [0]

This order satisfies following ordering constraints

    [sum(0())] = [4]                     
               > [2]                     
               = [0()]                   
                                         
   [sum(s(x))] = [2] x + [4]             
               > [2] x + [0]             
               = [+(sum(x), s(x))]       
                                         
   [sum1(0())] = [4]                     
               > [2]                     
               = [0()]                   
                                         
  [sum1(s(x))] = [2] x + [4]             
               > [2] x + [2]             
               = [s(+(sum1(x), +(x, x)))]
                                         

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

YES(?,ELEMENTARY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,ELEMENTARY).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sum(x), s(x))
  , sum1(0()) -> 0()
  , sum1(s(x)) -> s(+(sum1(x), +(x, x))) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,ELEMENTARY)

The input was oriented with the instance of 'Lightweight Multiset
Path Order' as induced by the safe mapping

 safe(sum) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(+) = {1, 2},
 safe(sum1) = {}

and precedence

 empty .

Following symbols are considered recursive:

 {sum, sum1}

The recursion depth is 1.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { sum(0();) -> 0()
   , sum(s(; x);) -> +(; sum(x;),  s(; x))
   , sum1(0();) -> 0()
   , sum1(s(; x);) -> s(; +(; sum1(x;),  +(; x,  x))) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,ELEMENTARY)

YES(?,PRIMREC)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,PRIMREC).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sum(x), s(x))
  , sum1(0()) -> 0()
  , sum1(s(x)) -> s(+(sum1(x), +(x, x))) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,PRIMREC)

The input was oriented with the instance of'multiset path orders'
as induced by the precedence

 sum > +, sum1 > s, sum1 > + .

Hurray, we answered YES(?,PRIMREC)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sum(x), s(x))
  , sum1(0()) -> 0()
  , sum1(s(x)) -> s(+(sum1(x), +(x, x))) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order'
as induced by the safe mapping

 safe(sum) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(+) = {1, 2},
 safe(sum1) = {}

and precedence

 empty .

Following symbols are considered recursive:

 {sum, sum1}

The recursion depth is 1.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { sum(0();) -> 0()
   , sum(s(; x);) -> +(; sum(x;),  s(; x))
   , sum1(0();) -> 0()
   , sum1(s(; x);) -> s(; +(; sum1(x;),  +(; x,  x))) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sum(x), s(x))
  , sum1(0()) -> 0()
  , sum1(s(x)) -> s(+(sum1(x), +(x, x))) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order
(PS)' as induced by the safe mapping

 safe(sum) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(+) = {1, 2},
 safe(sum1) = {}

and precedence

 empty .

Following symbols are considered recursive:

 {sum, sum1}

The recursion depth is 1.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { sum(0();) -> 0()
   , sum(s(; x);) -> +(; sum(x;),  s(; x))
   , sum1(0();) -> 0()
   , sum1(s(; x);) -> s(; +(; sum1(x;),  +(; x,  x))) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)