Problem SK90 2.18

YES(?,O(n^2))

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,O(n^2)).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sum(x), s(x))
  , +(x, 0()) -> x
  , +(x, s(y)) -> s(+(x, y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,O(n^2))

The following argument positions are usable:
  Uargs(sum) = {}, Uargs(s) = {1}, Uargs(+) = {1}
TcT has computed following constructor-restricted polynomial
interpretation.
  [sum](x1) = 2 + 3*x1 + x1^2
                             
      [0]() = 0              
                             
    [s](x1) = 1 + x1         
                             
[+](x1, x2) = 1 + x1 + 2*x2  
                             

This order satisfies following ordering constraints

    [sum(0())] = 2                
               >                  
               = [0()]            
                                  
   [sum(s(x))] = 6 + 5*x + x^2    
               > 5 + 5*x + x^2    
               = [+(sum(x), s(x))]
                                  
   [+(x, 0())] = 1 + x            
               > x                
               = [x]              
                                  
  [+(x, s(y))] = 3 + x + 2*y      
               > 2 + x + 2*y      
               = [s(+(x, y))]     
                                  

Hurray, we answered YES(?,O(n^2))

YES(?,ELEMENTARY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,ELEMENTARY).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sum(x), s(x))
  , +(x, 0()) -> x
  , +(x, s(y)) -> s(+(x, y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,ELEMENTARY)

The input was oriented with the instance of 'Lightweight Multiset
Path Order' as induced by the safe mapping

 safe(sum) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(+) = {1}

and precedence

 sum > + .

Following symbols are considered recursive:

 {sum, +}

The recursion depth is 2.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { sum(0();) -> 0()
   , sum(s(; x);) -> +(s(; x); sum(x;))
   , +(0(); x) -> x
   , +(s(; y); x) -> s(; +(y; x)) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,ELEMENTARY)

YES(?,PRIMREC)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,PRIMREC).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sum(x), s(x))
  , +(x, 0()) -> x
  , +(x, s(y)) -> s(+(x, y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,PRIMREC)

The input was oriented with the instance of'multiset path orders'
as induced by the precedence

 sum > +, + > s .

Hurray, we answered YES(?,PRIMREC)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sum(x), s(x))
  , +(x, 0()) -> x
  , +(x, s(y)) -> s(+(x, y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order'
as induced by the safe mapping

 safe(sum) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(+) = {1}

and precedence

 sum > + .

Following symbols are considered recursive:

 {sum, +}

The recursion depth is 2.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { sum(0();) -> 0()
   , sum(s(; x);) -> +(s(; x); sum(x;))
   , +(0(); x) -> x
   , +(s(; y); x) -> s(; +(y; x)) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sum(x), s(x))
  , +(x, 0()) -> x
  , +(x, s(y)) -> s(+(x, y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order
(PS)' as induced by the safe mapping

 safe(sum) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(+) = {1}

and precedence

 sum > + .

Following symbols are considered recursive:

 {sum, +}

The recursion depth is 2.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { sum(0();) -> 0()
   , sum(s(; x);) -> +(s(; x); sum(x;))
   , +(0(); x) -> x
   , +(s(; y); x) -> s(; +(y; x)) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)