Problem SK90 2.20

YES(?,O(n^1))

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,O(n^1)).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sqr(s(x)), sum(x))
  , sum(s(x)) -> +(*(s(x), s(x)), sum(x))
  , sqr(x) -> *(x, x) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,O(n^1))

The following argument positions are usable:
  Uargs(sum) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(+) = {1, 2}, Uargs(sqr) = {},
  Uargs(*) = {}

TcT has computed following constructor-based matrix interpretation
satisfying not(EDA).

    [sum](x1) = [2] x1 + [1]
                            
          [0] = [0]
                   
      [s](x1) = [1] x1 + [2]
                            
  [+](x1, x2) = [1] x1 + [1] x2 + [1]
                                     
    [sqr](x1) = [1]
                   
  [*](x1, x2) = [0]

This order satisfies following ordering constraints

   [sum(0())] = [1]                       
              > [0]                       
              = [0()]                     
                                          
  [sum(s(x))] = [2] x + [5]               
              > [2] x + [3]               
              = [+(sqr(s(x)), sum(x))]    
                                          
  [sum(s(x))] = [2] x + [5]               
              > [2] x + [2]               
              = [+(*(s(x), s(x)), sum(x))]
                                          
     [sqr(x)] = [1]                       
              > [0]                       
              = [*(x, x)]                 
                                          

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

YES(?,ELEMENTARY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,ELEMENTARY).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sqr(s(x)), sum(x))
  , sqr(x) -> *(x, x)
  , sum(s(x)) -> +(*(s(x), s(x)), sum(x)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,ELEMENTARY)

The input was oriented with the instance of 'Lightweight Multiset
Path Order' as induced by the safe mapping

 safe(sum) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(+) = {1, 2},
 safe(sqr) = {1}, safe(*) = {1, 2}

and precedence

 sum > sqr .

Following symbols are considered recursive:

 {sum}

The recursion depth is 1.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { sum(0();) -> 0()
   , sum(s(; x);) -> +(; sqr(; s(; x)),  sum(x;))
   , sqr(; x) -> *(; x,  x)
   , sum(s(; x);) -> +(; *(; s(; x),  s(; x)),  sum(x;)) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,ELEMENTARY)

YES(?,PRIMREC)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,PRIMREC).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sqr(s(x)), sum(x))
  , sqr(x) -> *(x, x)
  , sum(s(x)) -> +(*(s(x), s(x)), sum(x)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,PRIMREC)

The input was oriented with the instance of'multiset path orders'
as induced by the precedence

 sum > +, sum > sqr, sum > *, sqr > * .

Hurray, we answered YES(?,PRIMREC)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sqr(s(x)), sum(x))
  , sqr(x) -> *(x, x)
  , sum(s(x)) -> +(*(s(x), s(x)), sum(x)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order'
as induced by the safe mapping

 safe(sum) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(+) = {1, 2},
 safe(sqr) = {}, safe(*) = {1, 2}

and precedence

 sum > sqr .

Following symbols are considered recursive:

 {sum}

The recursion depth is 1.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { sum(0();) -> 0()
   , sum(s(; x);) -> +(; sqr(s(; x);),  sum(x;))
   , sqr(x;) -> *(; x,  x)
   , sum(s(; x);) -> +(; *(; s(; x),  s(; x)),  sum(x;)) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { sum(0()) -> 0()
  , sum(s(x)) -> +(sqr(s(x)), sum(x))
  , sqr(x) -> *(x, x)
  , sum(s(x)) -> +(*(s(x), s(x)), sum(x)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order
(PS)' as induced by the safe mapping

 safe(sum) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(+) = {1, 2},
 safe(sqr) = {}, safe(*) = {1, 2}

and precedence

 sum > sqr .

Following symbols are considered recursive:

 {sum}

The recursion depth is 1.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { sum(0();) -> 0()
   , sum(s(; x);) -> +(; sqr(s(; x);),  sum(x;))
   , sqr(x;) -> *(; x,  x)
   , sum(s(; x);) -> +(; *(; s(; x),  s(; x)),  sum(x;)) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)