Problem SK90 2.22

YES(?,O(n^2))

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,O(n^2)).

Strict Trs:
  { exp(x, 0()) -> s(0())
  , exp(x, s(y)) -> *(x, exp(x, y))
  , *(0(), y) -> 0()
  , *(s(x), y) -> +(y, *(x, y))
  , -(x, 0()) -> x
  , -(0(), y) -> 0()
  , -(s(x), s(y)) -> -(x, y) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,O(n^2))

The following argument positions are usable:
  Uargs(exp) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(*) = {2}, Uargs(+) = {2},
  Uargs(-) = {}
TcT has computed following constructor-restricted polynomial
interpretation.
[exp](x1, x2) = 2*x1 + x1*x2 + x2^2
                                   
        [0]() = 3                  
                                   
      [s](x1) = 2 + x1             
                                   
  [*](x1, x2) = 1 + 2*x1 + x2      
                                   
  [+](x1, x2) = 2 + x2             
                                   
  [-](x1, x2) = 2 + x1             
                                   

This order satisfies following ordering constraints

    [exp(x, 0())] = 5*x + 9                  
                  > 5                        
                  = [s(0())]                 
                                             
   [exp(x, s(y))] = 4*x + x*y + 4 + 4*y + y^2
                  > 1 + 4*x + x*y + y^2      
                  = [*(x, exp(x, y))]        
                                             
      [*(0(), y)] = 7 + y                    
                  > 3                        
                  = [0()]                    
                                             
     [*(s(x), y)] = 5 + 2*x + y              
                  > 3 + 2*x + y              
                  = [+(y, *(x, y))]          
                                             
      [-(x, 0())] = 2 + x                    
                  > x                        
                  = [x]                      
                                             
      [-(0(), y)] = 5                        
                  > 3                        
                  = [0()]                    
                                             
  [-(s(x), s(y))] = 4 + x                    
                  > 2 + x                    
                  = [-(x, y)]                
                                             

Hurray, we answered YES(?,O(n^2))

YES(?,ELEMENTARY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,ELEMENTARY).

Strict Trs:
  { exp(x, 0()) -> s(0())
  , exp(x, s(y)) -> *(x, exp(x, y))
  , *(0(), y) -> 0()
  , *(s(x), y) -> +(y, *(x, y))
  , -(0(), y) -> 0()
  , -(x, 0()) -> x
  , -(s(x), s(y)) -> -(x, y) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,ELEMENTARY)

The input was oriented with the instance of 'Lightweight Multiset
Path Order' as induced by the safe mapping

 safe(exp) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(*) = {2},
 safe(+) = {1, 2}, safe(-) = {2}

and precedence

 exp > * .

Following symbols are considered recursive:

 {exp, *, -}

The recursion depth is 2.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { exp(x,  0();) -> s(; 0())
   , exp(x,  s(; y);) -> *(x; exp(x,  y;))
   , *(0(); y) -> 0()
   , *(s(; x); y) -> +(; y,  *(x; y))
   , -(0(); y) -> 0()
   , -(x; 0()) -> x
   , -(s(; x); s(; y)) -> -(x; y) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,ELEMENTARY)

YES(?,PRIMREC)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,PRIMREC).

Strict Trs:
  { exp(x, 0()) -> s(0())
  , exp(x, s(y)) -> *(x, exp(x, y))
  , *(0(), y) -> 0()
  , *(s(x), y) -> +(y, *(x, y))
  , -(0(), y) -> 0()
  , -(x, 0()) -> x
  , -(s(x), s(y)) -> -(x, y) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,PRIMREC)

The input was oriented with the instance of'multiset path orders'
as induced by the precedence

 exp > s, exp > *, * > + .

Hurray, we answered YES(?,PRIMREC)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { exp(x, 0()) -> s(0())
  , exp(x, s(y)) -> *(x, exp(x, y))
  , *(0(), y) -> 0()
  , *(s(x), y) -> +(y, *(x, y))
  , -(0(), y) -> 0()
  , -(x, 0()) -> x
  , -(s(x), s(y)) -> -(x, y) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order'
as induced by the safe mapping

 safe(exp) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(*) = {2},
 safe(+) = {1, 2}, safe(-) = {2}

and precedence

 exp > * .

Following symbols are considered recursive:

 {exp, *, -}

The recursion depth is 2.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { exp(x,  0();) -> s(; 0())
   , exp(x,  s(; y);) -> *(x; exp(x,  y;))
   , *(0(); y) -> 0()
   , *(s(; x); y) -> +(; y,  *(x; y))
   , -(0(); y) -> 0()
   , -(x; 0()) -> x
   , -(s(; x); s(; y)) -> -(x; y) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { exp(x, 0()) -> s(0())
  , exp(x, s(y)) -> *(x, exp(x, y))
  , *(0(), y) -> 0()
  , *(s(x), y) -> +(y, *(x, y))
  , -(0(), y) -> 0()
  , -(x, 0()) -> x
  , -(s(x), s(y)) -> -(x, y) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order
(PS)' as induced by the safe mapping

 safe(exp) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(*) = {2},
 safe(+) = {1, 2}, safe(-) = {2}

and precedence

 exp > * .

Following symbols are considered recursive:

 {exp, *, -}

The recursion depth is 2.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { exp(x,  0();) -> s(; 0())
   , exp(x,  s(; y);) -> *(x; exp(x,  y;))
   , *(0(); y) -> 0()
   , *(s(; x); y) -> +(; y,  *(x; y))
   , -(0(); y) -> 0()
   , -(x; 0()) -> x
   , -(s(; x); s(; y)) -> -(x; y) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)