Problem SK90 2.29

YES(?,O(n^1))

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,O(n^1)).

Strict Trs:
  { prime(0()) -> false()
  , prime(s(0())) -> false()
  , prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
  , prime1(x, 0()) -> false()
  , prime1(x, s(0())) -> true()
  , prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
  , divp(x, y) -> =(rem(x, y), 0()) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,O(n^1))

The following argument positions are usable:
  Uargs(prime) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(prime1) = {},
  Uargs(and) = {1, 2}, Uargs(not) = {1}, Uargs(divp) = {},
  Uargs(=) = {}, Uargs(rem) = {}

TcT has computed following constructor-based matrix interpretation
satisfying not(EDA).

       [prime](x1) = [2] x1 + [0]
                                 
               [0] = [2]
                        
           [false] = [0]
                        
           [s](x1) = [1] x1 + [2]
                                 
  [prime1](x1, x2) = [2] x2 + [0]
                                 
            [true] = [0]
                        
     [and](x1, x2) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
                                          
         [not](x1) = [1] x1 + [1]
                                 
    [divp](x1, x2) = [2]
                        
       [=](x1, x2) = [1] x1 + [0]
                                 
     [rem](x1, x2) = [1]

This order satisfies following ordering constraints

          [prime(0())] = [4]                                          
                       > [0]                                          
                       = [false()]                                    
                                                                      
       [prime(s(0()))] = [8]                                          
                       > [0]                                          
                       = [false()]                                    
                                                                      
      [prime(s(s(x)))] = [2] x + [8]                                  
                       > [2] x + [4]                                  
                       = [prime1(s(s(x)), s(x))]                      
                                                                      
      [prime1(x, 0())] = [4]                                          
                       > [0]                                          
                       = [false()]                                    
                                                                      
   [prime1(x, s(0()))] = [8]                                          
                       > [0]                                          
                       = [true()]                                     
                                                                      
  [prime1(x, s(s(y)))] = [2] y + [8]                                  
                       > [2] y + [7]                                  
                       = [and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))]
                                                                      
          [divp(x, y)] = [2]                                          
                       > [1]                                          
                       = [=(rem(x, y), 0())]                          
                                                                      

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

YES(?,ELEMENTARY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,ELEMENTARY).

Strict Trs:
  { prime(0()) -> false()
  , prime(s(0())) -> false()
  , prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
  , prime1(x, 0()) -> false()
  , prime1(x, s(0())) -> true()
  , prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
  , divp(x, y) -> =(rem(x, y), 0()) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,ELEMENTARY)

The input was oriented with the instance of 'Lightweight Multiset
Path Order' as induced by the safe mapping

 safe(prime) = {}, safe(0) = {}, safe(false) = {}, safe(s) = {1},
 safe(prime1) = {}, safe(true) = {}, safe(and) = {1, 2},
 safe(not) = {1}, safe(divp) = {2}, safe(=) = {1, 2},
 safe(rem) = {1, 2}

and precedence

 prime > prime1, prime1 > divp .

Following symbols are considered recursive:

 {prime, prime1}

The recursion depth is 2.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { prime(0();) -> false()
   , prime(s(; 0());) -> false()
   , prime(s(; s(; x));) -> prime1(s(; s(; x)),  s(; x);)
   , prime1(x,  0();) -> false()
   , prime1(x,  s(; 0());) -> true()
   , prime1(x,  s(; s(; y));) ->
     and(; not(; divp(s(; s(; y)); x)),  prime1(x,  s(; y);))
   , divp(x; y) -> =(; rem(; x,  y),  0()) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,ELEMENTARY)

YES(?,PRIMREC)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,PRIMREC).

Strict Trs:
  { prime(0()) -> false()
  , prime(s(0())) -> false()
  , prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
  , prime1(x, 0()) -> false()
  , prime1(x, s(0())) -> true()
  , prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
  , divp(x, y) -> =(rem(x, y), 0()) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,PRIMREC)

The input was oriented with the instance of'multiset path orders'
as induced by the precedence

 prime > false, prime > prime1, prime1 > false, prime1 > and,
 prime1 > not, prime1 > divp, divp > =, divp > rem, 0 ~ divp,
 s ~ true .

Hurray, we answered YES(?,PRIMREC)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { prime(0()) -> false()
  , prime(s(0())) -> false()
  , prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
  , prime1(x, 0()) -> false()
  , prime1(x, s(0())) -> true()
  , prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
  , divp(x, y) -> =(rem(x, y), 0()) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order'
as induced by the safe mapping

 safe(prime) = {}, safe(0) = {}, safe(false) = {}, safe(s) = {1},
 safe(prime1) = {1}, safe(true) = {}, safe(and) = {1, 2},
 safe(not) = {1}, safe(divp) = {1, 2}, safe(=) = {1, 2},
 safe(rem) = {1, 2}

and precedence

 prime > prime1, prime1 > divp .

Following symbols are considered recursive:

 {prime, prime1}

The recursion depth is 2.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { prime(0();) -> false()
   , prime(s(; 0());) -> false()
   , prime(s(; s(; x));) -> prime1(s(; x); s(; s(; x)))
   , prime1(0(); x) -> false()
   , prime1(s(; 0()); x) -> true()
   , prime1(s(; s(; y)); x) ->
     and(; not(; divp(; s(; s(; y)),  x)),  prime1(s(; y); x))
   , divp(; x,  y) -> =(; rem(; x,  y),  0()) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)

YES(?,POLY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,POLY).

Strict Trs:
  { prime(0()) -> false()
  , prime(s(0())) -> false()
  , prime(s(s(x))) -> prime1(s(s(x)), s(x))
  , prime1(x, 0()) -> false()
  , prime1(x, s(0())) -> true()
  , prime1(x, s(s(y))) -> and(not(divp(s(s(y)), x)), prime1(x, s(y)))
  , divp(x, y) -> =(rem(x, y), 0()) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,POLY)

The input was oriented with the instance of 'Polynomial Path Order
(PS)' as induced by the safe mapping

 safe(prime) = {}, safe(0) = {}, safe(false) = {}, safe(s) = {1},
 safe(prime1) = {1}, safe(true) = {}, safe(and) = {1, 2},
 safe(not) = {1}, safe(divp) = {1, 2}, safe(=) = {1, 2},
 safe(rem) = {1, 2}

and precedence

 prime > prime1, prime1 > divp .

Following symbols are considered recursive:

 {prime, prime1}

The recursion depth is 2.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { prime(0();) -> false()
   , prime(s(; 0());) -> false()
   , prime(s(; s(; x));) -> prime1(s(; x); s(; s(; x)))
   , prime1(0(); x) -> false()
   , prime1(s(; 0()); x) -> true()
   , prime1(s(; s(; y)); x) ->
     and(; not(; divp(; s(; s(; y)),  x)),  prime1(s(; y); x))
   , divp(; x,  y) -> =(; rem(; x,  y),  0()) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,POLY)