Problem SK90 4.16

YES(?,O(n^1))

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,O(n^1)).

Strict Trs:
  { f(0()) -> s(0())
  , f(s(0())) -> s(s(0()))
  , f(s(0())) -> *(s(s(0())), f(0()))
  , f(+(x, y)) -> *(f(x), f(y))
  , f(+(x, s(0()))) -> +(s(s(0())), f(x)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,O(n^1))

The following argument positions are usable:
  Uargs(f) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(*) = {1, 2}, Uargs(+) = {2}

TcT has computed following constructor-based matrix interpretation
satisfying not(EDA).

      [f](x1) = [3] x1 + [2]
                            
          [0] = [0]
                   
      [s](x1) = [1] x1 + [1]
                            
  [*](x1, x2) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
                                     
  [+](x1, x2) = [1] x1 + [1] x2 + [1]

This order satisfies following ordering constraints

           [f(0())] = [2]                   
                    > [1]                   
                    = [s(0())]              
                                            
        [f(s(0()))] = [5]                   
                    > [2]                   
                    = [s(s(0()))]           
                                            
        [f(s(0()))] = [5]                   
                    > [4]                   
                    = [*(s(s(0())), f(0()))]
                                            
       [f(+(x, y))] = [3] x + [3] y + [5]   
                    > [3] x + [3] y + [4]   
                    = [*(f(x), f(y))]       
                                            
  [f(+(x, s(0())))] = [3] x + [8]           
                    > [3] x + [5]           
                    = [+(s(s(0())), f(x))]  
                                            

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

YES(?,ELEMENTARY)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,ELEMENTARY).

Strict Trs:
  { f(0()) -> s(0())
  , f(s(0())) -> s(s(0()))
  , f(s(0())) -> *(s(s(0())), f(0()))
  , f(+(x, s(0()))) -> +(s(s(0())), f(x))
  , f(+(x, y)) -> *(f(x), f(y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,ELEMENTARY)

The input was oriented with the instance of 'Lightweight Multiset
Path Order' as induced by the safe mapping

 safe(f) = {}, safe(0) = {}, safe(s) = {1}, safe(*) = {1, 2},
 safe(+) = {1, 2}

and precedence

 empty .

Following symbols are considered recursive:

 {f}

The recursion depth is 1.

For your convenience, here are the oriented rules in predicative
notation, possibly applying argument filtering:

 Strict DPs: 
 Weak DPs  : 
 Strict Trs:
   { f(0();) -> s(; 0())
   , f(s(; 0());) -> s(; s(; 0()))
   , f(s(; 0());) -> *(; s(; s(; 0())),  f(0();))
   , f(+(; x,  s(; 0()));) -> +(; s(; s(; 0())),  f(x;))
   , f(+(; x,  y);) -> *(; f(x;),  f(y;)) }
 Weak Trs  : 

Hurray, we answered YES(?,ELEMENTARY)

YES(?,PRIMREC)

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate YES(?,PRIMREC).

Strict Trs:
  { f(0()) -> s(0())
  , f(s(0())) -> s(s(0()))
  , f(s(0())) -> *(s(s(0())), f(0()))
  , f(+(x, s(0()))) -> +(s(s(0())), f(x))
  , f(+(x, y)) -> *(f(x), f(y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  YES(?,PRIMREC)

The input was oriented with the instance of'multiset path orders'
as induced by the precedence

 f > s, f > *, f > + .

Hurray, we answered YES(?,PRIMREC)

MAYBE

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate MAYBE.

Strict Trs:
  { f(0()) -> s(0())
  , f(s(0())) -> s(s(0()))
  , f(s(0())) -> *(s(s(0())), f(0()))
  , f(+(x, s(0()))) -> +(s(s(0())), f(x))
  , f(+(x, y)) -> *(f(x), f(y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  MAYBE

The input cannot be shown compatible

Arrrr..

MAYBE

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate MAYBE.

Strict Trs:
  { f(0()) -> s(0())
  , f(s(0())) -> s(s(0()))
  , f(s(0())) -> *(s(s(0())), f(0()))
  , f(+(x, s(0()))) -> +(s(s(0())), f(x))
  , f(+(x, y)) -> *(f(x), f(y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  MAYBE

The input cannot be shown compatible

Arrrr..