Problem Beerendonk 07 17

Tool CaT

Execution TimeUnknown
Answer
MAYBE
InputBeerendonk 07 17

stdout:

MAYBE

Problem:
 cond1(true(),x,y) -> cond2(gr(x,y),x,y)
 cond2(true(),x,y) -> cond1(gr(add(x,y),0()),p(x),y)
 cond2(false(),x,y) -> cond3(eq(x,y),x,y)
 cond3(true(),x,y) -> cond1(gr(add(x,y),0()),p(x),y)
 cond3(false(),x,y) -> cond1(gr(add(x,y),0()),x,p(y))
 gr(0(),x) -> false()
 gr(s(x),0()) -> true()
 gr(s(x),s(y)) -> gr(x,y)
 add(0(),x) -> x
 add(s(x),y) -> s(add(x,y))
 eq(0(),0()) -> true()
 eq(0(),s(x)) -> false()
 eq(s(x),0()) -> false()
 eq(s(x),s(y)) -> eq(x,y)
 p(0()) -> 0()
 p(s(x)) -> x

Proof:
 Open

Tool IRC1

Execution TimeUnknown
Answer
MAYBE
InputBeerendonk 07 17

stdout:

MAYBE

Tool IRC2

Execution TimeUnknown
Answer
MAYBE
InputBeerendonk 07 17

stdout:

MAYBE

'Fastest (timeout of 60.0 seconds)'
-----------------------------------
Answer:           MAYBE
Input Problem:    innermost runtime-complexity with respect to
  Rules:
    {  cond1(true(), x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y)
     , cond2(true(), x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0()), p(x), y)
     , cond2(false(), x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y)
     , cond3(true(), x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0()), p(x), y)
     , cond3(false(), x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0()), x, p(y))
     , gr(0(), x) -> false()
     , gr(s(x), 0()) -> true()
     , gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y)
     , add(0(), x) -> x
     , add(s(x), y) -> s(add(x, y))
     , eq(0(), 0()) -> true()
     , eq(0(), s(x)) -> false()
     , eq(s(x), 0()) -> false()
     , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
     , p(0()) -> 0()
     , p(s(x)) -> x}

Proof Output:    
  None of the processors succeeded.
  
  Details of failed attempt(s):
  -----------------------------
    1) 'wdg' failed due to the following reason:
         Transformation Details:
         -----------------------
           We have computed the following set of weak (innermost) dependency pairs:
           
             {  1: cond1^#(true(), x, y) -> c_0(cond2^#(gr(x, y), x, y))
              , 2: cond2^#(true(), x, y) ->
                   c_1(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
              , 3: cond2^#(false(), x, y) -> c_2(cond3^#(eq(x, y), x, y))
              , 4: cond3^#(true(), x, y) ->
                   c_3(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
              , 5: cond3^#(false(), x, y) ->
                   c_4(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), x, p(y)))
              , 6: gr^#(0(), x) -> c_5()
              , 7: gr^#(s(x), 0()) -> c_6()
              , 8: gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))
              , 9: add^#(0(), x) -> c_8()
              , 10: add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))
              , 11: eq^#(0(), 0()) -> c_10()
              , 12: eq^#(0(), s(x)) -> c_11()
              , 13: eq^#(s(x), 0()) -> c_12()
              , 14: eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))
              , 15: p^#(0()) -> c_14()
              , 16: p^#(s(x)) -> c_15()}
           
           Following Dependency Graph (modulo SCCs) was computed. (Answers to
           subproofs are indicated to the right.)
           
             ->{16}                                                      [    YES(?,O(1))     ]
             
             ->{15}                                                      [    YES(?,O(1))     ]
             
             ->{14}                                                      [   YES(?,O(n^2))    ]
                |
                |->{11}                                                  [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                |->{12}                                                  [   YES(?,O(n^2))    ]
                |
                `->{13}                                                  [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{10}                                                      [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                `->{9}                                                   [   YES(?,O(n^2))    ]
             
             ->{8}                                                       [   YES(?,O(n^2))    ]
                |
                |->{6}                                                   [   YES(?,O(n^2))    ]
                |
                `->{7}                                                   [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{1,5,3,4,2}                                               [         NA         ]
             
           
         
         Sub-problems:
         -------------
           * Path {1,5,3,4,2}: NA
             --------------------
             
             The usable rules for this path are:
             
               {  gr(0(), x) -> false()
                , gr(s(x), 0()) -> true()
                , gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y)
                , add(0(), x) -> x
                , add(s(x), y) -> s(add(x, y))
                , eq(0(), 0()) -> true()
                , eq(0(), s(x)) -> false()
                , eq(s(x), 0()) -> false()
                , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
                , p(0()) -> 0()
                , p(s(x)) -> x}
             
             The weight gap principle does not apply:
               The input cannot be shown compatible
             Induced complexity for the usable rules: MAYBE
             
             We have not generated a proof for the resulting sub-problem.
           
           * Path {8}: YES(?,O(n^2))
             -----------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [1 0] x1 + [0]
                        [0 1]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 1] x1 + [0 1] x2 + [0]
                               [3 0]      [3 3]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [1 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^2))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1 2] x1 + [1]
                        [0 1]      [2]
                gr^#(x1, x2) = [4 1] x1 + [1 2] x2 + [0]
                               [0 2]      [0 0]      [0]
                c_7(x1) = [1 2] x1 + [5]
                          [0 0]      [3]
           
           * Path {8}->{6}: YES(?,O(n^2))
             ----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^2))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(0(), x) -> c_5()}
               Weak Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                      [2]
                s(x1) = [1 2] x1 + [2]
                        [0 1]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [3 3] x1 + [4 0] x2 + [0]
                               [4 1]      [2 0]      [0]
                c_5() = [1]
                        [0]
                c_7(x1) = [1 0] x1 + [3]
                          [0 0]      [7]
           
           * Path {8}->{7}: YES(?,O(n^1))
             ----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(s(x), 0()) -> c_6()}
               Weak Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [0]
                      [0]
                s(x1) = [1 4] x1 + [2]
                        [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [2 0] x1 + [2 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 2]      [0]
                c_6() = [1]
                        [0]
                c_7(x1) = [1 2] x1 + [3]
                          [0 0]      [0]
           
           * Path {10}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {1}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [1 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [3 0]      [3 3]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [2 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_9) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1 0] x1 + [0]
                        [0 1]      [1]
                add^#(x1, x2) = [0 1] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 4]      [4]
                c_9(x1) = [1 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [3]
           
           * Path {10}->{9}: YES(?,O(n^2))
             -----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {1}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^2))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {add^#(0(), x) -> c_8()}
               Weak Rules: {add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                      [2]
                s(x1) = [1 2] x1 + [4]
                        [0 1]      [0]
                add^#(x1, x2) = [1 3] x1 + [0 0] x2 + [4]
                                [2 2]      [4 4]      [0]
                c_8() = [1]
                        [0]
                c_9(x1) = [1 0] x1 + [3]
                          [0 0]      [7]
           
           * Path {14}: YES(?,O(n^2))
             ------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [1 0] x1 + [0]
                        [0 1]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 1] x2 + [0]
                               [3 0]      [3 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [1 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^2))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1 2] x1 + [1]
                        [0 1]      [2]
                eq^#(x1, x2) = [4 1] x1 + [1 2] x2 + [0]
                               [0 2]      [0 0]      [0]
                c_13(x1) = [1 2] x1 + [5]
                           [0 0]      [3]
           
           * Path {14}->{11}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(0(), 0()) -> c_10()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                      [2]
                s(x1) = [1 0] x1 + [2]
                        [0 1]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [2 2] x1 + [2 0] x2 + [0]
                               [2 0]      [0 0]      [4]
                c_10() = [1]
                         [0]
                c_13(x1) = [1 0] x1 + [7]
                           [0 0]      [7]
           
           * Path {14}->{12}: YES(?,O(n^2))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^2))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(0(), s(x)) -> c_11()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_11) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                      [2]
                s(x1) = [1 6] x1 + [2]
                        [0 1]      [2]
                eq^#(x1, x2) = [2 1] x1 + [0 1] x2 + [0]
                               [1 2]      [2 0]      [0]
                c_11() = [1]
                         [0]
                c_13(x1) = [1 0] x1 + [7]
                           [0 0]      [7]
           
           * Path {14}->{13}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(s(x), 0()) -> c_12()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_12) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [0]
                      [0]
                s(x1) = [1 4] x1 + [2]
                        [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [2 0] x1 + [2 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 2]      [0]
                c_12() = [1]
                         [0]
                c_13(x1) = [1 2] x1 + [3]
                           [0 0]      [0]
           
           * Path {15}: YES(?,O(1))
             ----------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {p^#(0()) -> c_14()}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                      [2]
                p^#(x1) = [2 0] x1 + [7]
                          [2 2]      [7]
                c_14() = [0]
                         [1]
           
           * Path {16}: YES(?,O(1))
             ----------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8() = [0]
                        [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15() = [0]
                         [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {p^#(s(x)) -> c_15()}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [0 0] x1 + [2]
                        [0 0]      [2]
                p^#(x1) = [2 0] x1 + [7]
                          [2 2]      [7]
                c_15() = [0]
                         [1]
    
    2) 'wdg' failed due to the following reason:
         Transformation Details:
         -----------------------
           We have computed the following set of weak (innermost) dependency pairs:
           
             {  1: cond1^#(true(), x, y) -> c_0(cond2^#(gr(x, y), x, y))
              , 2: cond2^#(true(), x, y) ->
                   c_1(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
              , 3: cond2^#(false(), x, y) -> c_2(cond3^#(eq(x, y), x, y))
              , 4: cond3^#(true(), x, y) ->
                   c_3(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
              , 5: cond3^#(false(), x, y) ->
                   c_4(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), x, p(y)))
              , 6: gr^#(0(), x) -> c_5()
              , 7: gr^#(s(x), 0()) -> c_6()
              , 8: gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))
              , 9: add^#(0(), x) -> c_8()
              , 10: add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))
              , 11: eq^#(0(), 0()) -> c_10()
              , 12: eq^#(0(), s(x)) -> c_11()
              , 13: eq^#(s(x), 0()) -> c_12()
              , 14: eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))
              , 15: p^#(0()) -> c_14()
              , 16: p^#(s(x)) -> c_15()}
           
           Following Dependency Graph (modulo SCCs) was computed. (Answers to
           subproofs are indicated to the right.)
           
             ->{16}                                                      [    YES(?,O(1))     ]
             
             ->{15}                                                      [    YES(?,O(1))     ]
             
             ->{14}                                                      [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                |->{11}                                                  [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                |->{12}                                                  [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                `->{13}                                                  [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{10}                                                      [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                `->{9}                                                   [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{8}                                                       [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                |->{6}                                                   [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                `->{7}                                                   [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{1,5,3,4,2}                                               [       MAYBE        ]
             
           
         
         Sub-problems:
         -------------
           * Path {1,5,3,4,2}: MAYBE
             -----------------------
             
             The usable rules for this path are:
             
               {  gr(0(), x) -> false()
                , gr(s(x), 0()) -> true()
                , gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y)
                , add(0(), x) -> x
                , add(s(x), y) -> s(add(x, y))
                , eq(0(), 0()) -> true()
                , eq(0(), s(x)) -> false()
                , eq(s(x), 0()) -> false()
                , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
                , p(0()) -> 0()
                , p(s(x)) -> x}
             
             The weight gap principle does not apply:
               The input cannot be shown compatible
             Induced complexity for the usable rules: MAYBE
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           MAYBE
             Input Problem:    innermost runtime-complexity with respect to
               Rules:
                 {  cond1^#(true(), x, y) -> c_0(cond2^#(gr(x, y), x, y))
                  , cond3^#(false(), x, y) ->
                    c_4(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), x, p(y)))
                  , cond2^#(false(), x, y) -> c_2(cond3^#(eq(x, y), x, y))
                  , cond3^#(true(), x, y) ->
                    c_3(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
                  , cond2^#(true(), x, y) ->
                    c_1(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
                  , gr(0(), x) -> false()
                  , gr(s(x), 0()) -> true()
                  , gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y)
                  , add(0(), x) -> x
                  , add(s(x), y) -> s(add(x, y))
                  , eq(0(), 0()) -> true()
                  , eq(0(), s(x)) -> false()
                  , eq(s(x), 0()) -> false()
                  , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
                  , p(0()) -> 0()
                  , p(s(x)) -> x}
             
             Proof Output:    
               The input cannot be shown compatible
           
           * Path {8}: YES(?,O(n^1))
             -----------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [1] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [3] x1 + [3] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [1] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                gr^#(x1, x2) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
                c_7(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {8}->{6}: YES(?,O(n^1))
             ----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(0(), x) -> c_5()}
               Weak Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                gr^#(x1, x2) = [2] x1 + [0] x2 + [4]
                c_5() = [1]
                c_7(x1) = [1] x1 + [2]
           
           * Path {8}->{7}: YES(?,O(n^1))
             ----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(s(x), 0()) -> c_6()}
               Weak Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                gr^#(x1, x2) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
                c_6() = [1]
                c_7(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {10}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {1}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [1] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_9) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1] x1 + [4]
                add^#(x1, x2) = [2] x1 + [7] x2 + [0]
                c_9(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {10}->{9}: YES(?,O(n^1))
             -----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {1}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {add^#(0(), x) -> c_8()}
               Weak Rules: {add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                add^#(x1, x2) = [6] x1 + [7] x2 + [0]
                c_8() = [1]
                c_9(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {14}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [1] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [3] x1 + [3] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [1] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                eq^#(x1, x2) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
                c_13(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {14}->{11}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(0(), 0()) -> c_10()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [0]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                eq^#(x1, x2) = [2] x1 + [0] x2 + [4]
                c_10() = [1]
                c_13(x1) = [1] x1 + [3]
           
           * Path {14}->{12}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(0(), s(x)) -> c_11()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_11) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                eq^#(x1, x2) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
                c_11() = [1]
                c_13(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {14}->{13}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(s(x), 0()) -> c_12()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_12) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                eq^#(x1, x2) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
                c_12() = [1]
                c_13(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {15}: YES(?,O(1))
             ----------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {p^#(0()) -> c_14()}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [7]
                p^#(x1) = [1] x1 + [7]
                c_14() = [1]
           
           * Path {16}: YES(?,O(1))
             ----------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8() = [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15() = [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(1))
             Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {p^#(s(x)) -> c_15()}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [0] x1 + [7]
                p^#(x1) = [1] x1 + [7]
                c_15() = [1]
    
    3) 'matrix-interpretation of dimension 1' failed due to the following reason:
         The input cannot be shown compatible
    
    4) 'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' failed due to the following reason:
         match-boundness of the problem could not be verified.
    
    5) 'Bounds with perSymbol-enrichment and initial automaton 'match'' failed due to the following reason:
         match-boundness of the problem could not be verified.
    

Tool RC1

Execution TimeUnknown
Answer
MAYBE
InputBeerendonk 07 17

stdout:

MAYBE

Tool RC2

Execution TimeUnknown
Answer
MAYBE
InputBeerendonk 07 17

stdout:

MAYBE

'Fastest (timeout of 60.0 seconds)'
-----------------------------------
Answer:           MAYBE
Input Problem:    runtime-complexity with respect to
  Rules:
    {  cond1(true(), x, y) -> cond2(gr(x, y), x, y)
     , cond2(true(), x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0()), p(x), y)
     , cond2(false(), x, y) -> cond3(eq(x, y), x, y)
     , cond3(true(), x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0()), p(x), y)
     , cond3(false(), x, y) -> cond1(gr(add(x, y), 0()), x, p(y))
     , gr(0(), x) -> false()
     , gr(s(x), 0()) -> true()
     , gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y)
     , add(0(), x) -> x
     , add(s(x), y) -> s(add(x, y))
     , eq(0(), 0()) -> true()
     , eq(0(), s(x)) -> false()
     , eq(s(x), 0()) -> false()
     , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
     , p(0()) -> 0()
     , p(s(x)) -> x}

Proof Output:    
  None of the processors succeeded.
  
  Details of failed attempt(s):
  -----------------------------
    1) 'wdg' failed due to the following reason:
         Transformation Details:
         -----------------------
           We have computed the following set of weak (innermost) dependency pairs:
           
             {  1: cond1^#(true(), x, y) -> c_0(cond2^#(gr(x, y), x, y))
              , 2: cond2^#(true(), x, y) ->
                   c_1(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
              , 3: cond2^#(false(), x, y) -> c_2(cond3^#(eq(x, y), x, y))
              , 4: cond3^#(true(), x, y) ->
                   c_3(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
              , 5: cond3^#(false(), x, y) ->
                   c_4(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), x, p(y)))
              , 6: gr^#(0(), x) -> c_5()
              , 7: gr^#(s(x), 0()) -> c_6()
              , 8: gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))
              , 9: add^#(0(), x) -> c_8(x)
              , 10: add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))
              , 11: eq^#(0(), 0()) -> c_10()
              , 12: eq^#(0(), s(x)) -> c_11()
              , 13: eq^#(s(x), 0()) -> c_12()
              , 14: eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))
              , 15: p^#(0()) -> c_14()
              , 16: p^#(s(x)) -> c_15(x)}
           
           Following Dependency Graph (modulo SCCs) was computed. (Answers to
           subproofs are indicated to the right.)
           
             ->{16}                                                      [   YES(?,O(n^2))    ]
             
             ->{15}                                                      [    YES(?,O(1))     ]
             
             ->{14}                                                      [   YES(?,O(n^2))    ]
                |
                |->{11}                                                  [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                |->{12}                                                  [   YES(?,O(n^2))    ]
                |
                `->{13}                                                  [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{10}                                                      [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                `->{9}                                                   [   YES(?,O(n^2))    ]
             
             ->{8}                                                       [   YES(?,O(n^2))    ]
                |
                |->{6}                                                   [   YES(?,O(n^2))    ]
                |
                `->{7}                                                   [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{1,5,3,4,2}                                               [         NA         ]
             
           
         
         Sub-problems:
         -------------
           * Path {1,5,3,4,2}: NA
             --------------------
             
             The usable rules for this path are:
             
               {  gr(0(), x) -> false()
                , gr(s(x), 0()) -> true()
                , gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y)
                , add(0(), x) -> x
                , add(s(x), y) -> s(add(x, y))
                , eq(0(), 0()) -> true()
                , eq(0(), s(x)) -> false()
                , eq(s(x), 0()) -> false()
                , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
                , p(0()) -> 0()
                , p(s(x)) -> x}
             
             The weight gap principle does not apply:
               The input cannot be shown compatible
             Induced complexity for the usable rules: MAYBE
             
             We have not generated a proof for the resulting sub-problem.
           
           * Path {8}: YES(?,O(n^2))
             -----------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [1 0] x1 + [0]
                        [0 1]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 1] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [3 0]      [3 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [1 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^2))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1 2] x1 + [1]
                        [0 1]      [2]
                gr^#(x1, x2) = [4 1] x1 + [1 2] x2 + [0]
                               [0 2]      [0 0]      [0]
                c_7(x1) = [1 2] x1 + [5]
                          [0 0]      [3]
           
           * Path {8}->{6}: YES(?,O(n^2))
             ----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^2))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(0(), x) -> c_5()}
               Weak Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                      [2]
                s(x1) = [1 2] x1 + [2]
                        [0 1]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [3 3] x1 + [4 0] x2 + [0]
                               [4 1]      [2 0]      [0]
                c_5() = [1]
                        [0]
                c_7(x1) = [1 0] x1 + [3]
                          [0 0]      [7]
           
           * Path {8}->{7}: YES(?,O(n^1))
             ----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(s(x), 0()) -> c_6()}
               Weak Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [0]
                      [0]
                s(x1) = [1 4] x1 + [2]
                        [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [2 0] x1 + [2 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 2]      [0]
                c_6() = [1]
                        [0]
                c_7(x1) = [1 2] x1 + [3]
                          [0 0]      [0]
           
           * Path {10}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {1}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [1 0] x1 + [0]
                        [0 1]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 1] x1 + [3 3] x2 + [0]
                                [3 0]      [3 3]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [1 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_9) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1 0] x1 + [0]
                        [0 1]      [1]
                add^#(x1, x2) = [0 1] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 4]      [4]
                c_9(x1) = [1 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [3]
           
           * Path {10}->{9}: YES(?,O(n^2))
             -----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {1}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [3 3] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8(x1) = [1 1] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^2))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {add^#(0(), x) -> c_8(x)}
               Weak Rules: {add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {1},
                 Uargs(c_9) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                      [2]
                s(x1) = [1 2] x1 + [2]
                        [0 1]      [1]
                add^#(x1, x2) = [3 2] x1 + [4 0] x2 + [0]
                                [2 5]      [4 0]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [1]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [1 0] x1 + [7]
                          [0 0]      [7]
           
           * Path {14}: YES(?,O(n^2))
             ------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [1 0] x1 + [0]
                        [0 1]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 1] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [3 0]      [3 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [1 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^2))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1 2] x1 + [1]
                        [0 1]      [2]
                eq^#(x1, x2) = [4 1] x1 + [1 2] x2 + [0]
                               [0 2]      [0 0]      [0]
                c_13(x1) = [1 2] x1 + [5]
                           [0 0]      [3]
           
           * Path {14}->{11}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(0(), 0()) -> c_10()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                      [2]
                s(x1) = [1 0] x1 + [2]
                        [0 1]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [2 2] x1 + [2 0] x2 + [0]
                               [2 0]      [0 0]      [4]
                c_10() = [1]
                         [0]
                c_13(x1) = [1 0] x1 + [7]
                           [0 0]      [7]
           
           * Path {14}->{12}: YES(?,O(n^2))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^2))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(0(), s(x)) -> c_11()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_11) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                      [2]
                s(x1) = [1 6] x1 + [2]
                        [0 1]      [2]
                eq^#(x1, x2) = [2 1] x1 + [0 1] x2 + [0]
                               [1 2]      [2 0]      [0]
                c_11() = [1]
                         [0]
                c_13(x1) = [1 0] x1 + [7]
                           [0 0]      [7]
           
           * Path {14}->{13}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(s(x), 0()) -> c_12()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_12) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [0]
                      [0]
                s(x1) = [1 4] x1 + [2]
                        [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [2 0] x1 + [2 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 2]      [0]
                c_12() = [1]
                         [0]
                c_13(x1) = [1 2] x1 + [3]
                           [0 0]      [0]
           
           * Path {15}: YES(?,O(1))
             ----------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [0 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {p^#(0()) -> c_14()}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                      [2]
                p^#(x1) = [2 0] x1 + [7]
                          [2 2]      [7]
                c_14() = [0]
                         [1]
           
           * Path {16}: YES(?,O(n^2))
             ------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                true() = [0]
                         [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                gr(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                add(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                              [0 0]      [0 0]      [0]
                0() = [0]
                      [0]
                p(x1) = [0 0] x1 + [0]
                        [0 0]      [0]
                false() = [0]
                          [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                    [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                eq(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                             [0 0]      [0 0]      [0]
                s(x1) = [1 1] x1 + [0]
                        [0 1]      [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_0(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_1(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_2(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0 0] x3 + [0]
                                      [0 0]      [0 0]      [0 0]      [0]
                c_3(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_4(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                gr^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_5() = [0]
                        [0]
                c_6() = [0]
                        [0]
                c_7(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                add^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                                [0 0]      [0 0]      [0]
                c_8(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_9(x1) = [3 0] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                eq^#(x1, x2) = [0 0] x1 + [0 0] x2 + [0]
                               [0 0]      [0 0]      [0]
                c_10() = [0]
                         [0]
                c_11() = [0]
                         [0]
                c_12() = [0]
                         [0]
                c_13(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [3 3] x1 + [0]
                          [0 0]      [0]
                c_14() = [0]
                         [0]
                c_15(x1) = [3 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^2))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 2'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {p^#(s(x)) -> c_15(x)}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_15) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1 2] x1 + [2]
                        [0 0]      [0]
                p^#(x1) = [2 0] x1 + [7]
                          [2 0]      [7]
                c_15(x1) = [1 0] x1 + [0]
                           [0 0]      [1]
    
    2) 'wdg' failed due to the following reason:
         Transformation Details:
         -----------------------
           We have computed the following set of weak (innermost) dependency pairs:
           
             {  1: cond1^#(true(), x, y) -> c_0(cond2^#(gr(x, y), x, y))
              , 2: cond2^#(true(), x, y) ->
                   c_1(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
              , 3: cond2^#(false(), x, y) -> c_2(cond3^#(eq(x, y), x, y))
              , 4: cond3^#(true(), x, y) ->
                   c_3(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
              , 5: cond3^#(false(), x, y) ->
                   c_4(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), x, p(y)))
              , 6: gr^#(0(), x) -> c_5()
              , 7: gr^#(s(x), 0()) -> c_6()
              , 8: gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))
              , 9: add^#(0(), x) -> c_8(x)
              , 10: add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))
              , 11: eq^#(0(), 0()) -> c_10()
              , 12: eq^#(0(), s(x)) -> c_11()
              , 13: eq^#(s(x), 0()) -> c_12()
              , 14: eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))
              , 15: p^#(0()) -> c_14()
              , 16: p^#(s(x)) -> c_15(x)}
           
           Following Dependency Graph (modulo SCCs) was computed. (Answers to
           subproofs are indicated to the right.)
           
             ->{16}                                                      [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{15}                                                      [    YES(?,O(1))     ]
             
             ->{14}                                                      [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                |->{11}                                                  [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                |->{12}                                                  [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                `->{13}                                                  [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{10}                                                      [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                `->{9}                                                   [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{8}                                                       [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                |->{6}                                                   [   YES(?,O(n^1))    ]
                |
                `->{7}                                                   [   YES(?,O(n^1))    ]
             
             ->{1,5,3,4,2}                                               [       MAYBE        ]
             
           
         
         Sub-problems:
         -------------
           * Path {1,5,3,4,2}: MAYBE
             -----------------------
             
             The usable rules for this path are:
             
               {  gr(0(), x) -> false()
                , gr(s(x), 0()) -> true()
                , gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y)
                , add(0(), x) -> x
                , add(s(x), y) -> s(add(x, y))
                , eq(0(), 0()) -> true()
                , eq(0(), s(x)) -> false()
                , eq(s(x), 0()) -> false()
                , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
                , p(0()) -> 0()
                , p(s(x)) -> x}
             
             The weight gap principle does not apply:
               The input cannot be shown compatible
             Induced complexity for the usable rules: MAYBE
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           MAYBE
             Input Problem:    runtime-complexity with respect to
               Rules:
                 {  cond1^#(true(), x, y) -> c_0(cond2^#(gr(x, y), x, y))
                  , cond3^#(false(), x, y) ->
                    c_4(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), x, p(y)))
                  , cond2^#(false(), x, y) -> c_2(cond3^#(eq(x, y), x, y))
                  , cond3^#(true(), x, y) ->
                    c_3(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
                  , cond2^#(true(), x, y) ->
                    c_1(cond1^#(gr(add(x, y), 0()), p(x), y))
                  , gr(0(), x) -> false()
                  , gr(s(x), 0()) -> true()
                  , gr(s(x), s(y)) -> gr(x, y)
                  , add(0(), x) -> x
                  , add(s(x), y) -> s(add(x, y))
                  , eq(0(), 0()) -> true()
                  , eq(0(), s(x)) -> false()
                  , eq(s(x), 0()) -> false()
                  , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
                  , p(0()) -> 0()
                  , p(s(x)) -> x}
             
             Proof Output:    
               The input cannot be shown compatible
           
           * Path {8}: YES(?,O(n^1))
             -----------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [1] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [3] x1 + [3] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [1] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8(x1) = [3] x1 + [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                gr^#(x1, x2) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
                c_7(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {8}->{6}: YES(?,O(n^1))
             ----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8(x1) = [3] x1 + [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(0(), x) -> c_5()}
               Weak Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                gr^#(x1, x2) = [2] x1 + [0] x2 + [4]
                c_5() = [1]
                c_7(x1) = [1] x1 + [2]
           
           * Path {8}->{7}: YES(?,O(n^1))
             ----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8(x1) = [3] x1 + [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {gr^#(s(x), 0()) -> c_6()}
               Weak Rules: {gr^#(s(x), s(y)) -> c_7(gr^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                gr^#(x1, x2) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
                c_6() = [1]
                c_7(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {10}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {1}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [1] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [3] x1 + [3] x2 + [0]
                c_8(x1) = [3] x1 + [0]
                c_9(x1) = [1] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_9) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1] x1 + [4]
                add^#(x1, x2) = [2] x1 + [7] x2 + [0]
                c_9(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {10}->{9}: YES(?,O(n^1))
             -----------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {1}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [3] x2 + [0]
                c_8(x1) = [1] x1 + [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {add^#(0(), x) -> c_8(x)}
               Weak Rules: {add^#(s(x), y) -> c_9(add^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {1},
                 Uargs(c_9) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                s(x1) = [1] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [2] x1 + [7] x2 + [0]
                c_8(x1) = [1] x1 + [1]
                c_9(x1) = [1] x1 + [0]
           
           * Path {14}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [1] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8(x1) = [3] x1 + [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [3] x1 + [3] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [1] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                eq^#(x1, x2) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
                c_13(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {14}->{11}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8(x1) = [3] x1 + [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(0(), 0()) -> c_10()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [0]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                eq^#(x1, x2) = [2] x1 + [0] x2 + [4]
                c_10() = [1]
                c_13(x1) = [1] x1 + [3]
           
           * Path {14}->{12}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8(x1) = [3] x1 + [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(0(), s(x)) -> c_11()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_11) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                eq^#(x1, x2) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
                c_11() = [1]
                c_13(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {14}->{13}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {1},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8(x1) = [3] x1 + [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {eq^#(s(x), 0()) -> c_12()}
               Weak Rules: {eq^#(s(x), s(y)) -> c_13(eq^#(x, y))}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(s) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_12) = {},
                 Uargs(c_13) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [2]
                s(x1) = [1] x1 + [2]
                eq^#(x1, x2) = [2] x1 + [2] x2 + [0]
                c_12() = [1]
                c_13(x1) = [1] x1 + [7]
           
           * Path {15}: YES(?,O(1))
             ----------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [0] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8(x1) = [3] x1 + [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [0] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {p^#(0()) -> c_14()}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(0) = {}, Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                0() = [7]
                p^#(x1) = [1] x1 + [7]
                c_14() = [1]
           
           * Path {16}: YES(?,O(n^1))
             ------------------------
             
             The usable rules of this path are empty.
             
             The weightgap principle applies, using the following TMI:
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(cond1) = {}, Uargs(true) = {}, Uargs(cond2) = {},
                 Uargs(gr) = {}, Uargs(add) = {}, Uargs(0) = {}, Uargs(p) = {},
                 Uargs(false) = {}, Uargs(cond3) = {}, Uargs(eq) = {},
                 Uargs(s) = {}, Uargs(cond1^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
                 Uargs(cond2^#) = {}, Uargs(c_1) = {}, Uargs(c_2) = {},
                 Uargs(cond3^#) = {}, Uargs(c_3) = {}, Uargs(c_4) = {},
                 Uargs(gr^#) = {}, Uargs(c_5) = {}, Uargs(c_6) = {},
                 Uargs(c_7) = {}, Uargs(add^#) = {}, Uargs(c_8) = {},
                 Uargs(c_9) = {}, Uargs(eq^#) = {}, Uargs(c_10) = {},
                 Uargs(c_11) = {}, Uargs(c_12) = {}, Uargs(c_13) = {},
                 Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_14) = {}, Uargs(c_15) = {}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                cond1(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                true() = [0]
                cond2(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                gr(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                add(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                0() = [0]
                p(x1) = [0] x1 + [0]
                false() = [0]
                cond3(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                eq(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                s(x1) = [1] x1 + [0]
                cond1^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_0(x1) = [3] x1 + [0]
                cond2^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_1(x1) = [3] x1 + [0]
                c_2(x1) = [3] x1 + [0]
                cond3^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
                c_3(x1) = [3] x1 + [0]
                c_4(x1) = [3] x1 + [0]
                gr^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_5() = [0]
                c_6() = [0]
                c_7(x1) = [3] x1 + [0]
                add^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_8(x1) = [3] x1 + [0]
                c_9(x1) = [3] x1 + [0]
                eq^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
                c_10() = [0]
                c_11() = [0]
                c_12() = [0]
                c_13(x1) = [3] x1 + [0]
                p^#(x1) = [3] x1 + [0]
                c_14() = [0]
                c_15(x1) = [1] x1 + [0]
             Induced complexity for the usable rules: YES(?,O(n^1))
             
             We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
             
             'matrix-interpretation of dimension 1'
             --------------------------------------
             Answer:           YES(?,O(n^1))
             Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
               Strict Rules: {p^#(s(x)) -> c_15(x)}
               Weak Rules: {}
             
             Proof Output:    
               The following argument positions are usable:
                 Uargs(s) = {}, Uargs(p^#) = {}, Uargs(c_15) = {1}
               We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
               Interpretation Functions:
                s(x1) = [1] x1 + [5]
                p^#(x1) = [3] x1 + [0]
                c_15(x1) = [3] x1 + [0]
    
    3) 'matrix-interpretation of dimension 1' failed due to the following reason:
         The input cannot be shown compatible
    
    4) 'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' failed due to the following reason:
         match-boundness of the problem could not be verified.
    
    5) 'Bounds with perSymbol-enrichment and initial automaton 'match'' failed due to the following reason:
         match-boundness of the problem could not be verified.