Problem Mixed TRS jones2

Tool CaT

Execution TimeUnknown
Answer
MAYBE
InputMixed TRS jones2

stdout:

MAYBE

Problem:
 f(empty(),l) -> l
 f(cons(x,k),l) -> g(k,l,cons(x,k))
 g(a,b,c) -> f(a,cons(b,c))

Proof:
 Open

Tool IRC1

Execution TimeUnknown
Answer
MAYBE
InputMixed TRS jones2

stdout:

MAYBE

Tool IRC2

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputMixed TRS jones2

stdout:

YES(?,O(n^1))

'Fastest (timeout of 60.0 seconds)'
-----------------------------------
Answer:           YES(?,O(n^1))
Input Problem:    innermost runtime-complexity with respect to
  Rules:
    {  f(empty(), l) -> l
     , f(cons(x, k), l) -> g(k, l, cons(x, k))
     , g(a, b, c) -> f(a, cons(b, c))}

Proof Output:    
  'wdg' proved the best result:
  
  Details:
  --------
    'wdg' succeeded with the following output:
     'wdg'
     -----
     Answer:           YES(?,O(n^1))
     Input Problem:    innermost runtime-complexity with respect to
       Rules:
         {  f(empty(), l) -> l
          , f(cons(x, k), l) -> g(k, l, cons(x, k))
          , g(a, b, c) -> f(a, cons(b, c))}
     
     Proof Output:    
       Transformation Details:
       -----------------------
         We have computed the following set of weak (innermost) dependency pairs:
         
           {  1: f^#(empty(), l) -> c_0()
            , 2: f^#(cons(x, k), l) -> c_1(g^#(k, l, cons(x, k)))
            , 3: g^#(a, b, c) -> c_2(f^#(a, cons(b, c)))}
         
         Following Dependency Graph (modulo SCCs) was computed. (Answers to
         subproofs are indicated to the right.)
         
           ->{2,3}                                                     [   YES(?,O(n^1))    ]
              |
              `->{1}                                                   [   YES(?,O(n^1))    ]
           
         
       
       Sub-problems:
       -------------
         * Path {2,3}: YES(?,O(n^1))
           -------------------------
           
           The usable rules of this path are empty.
           
           The weightgap principle applies, using the following adequate RMI:
             The following argument positions are usable:
               Uargs(f) = {}, Uargs(cons) = {}, Uargs(g) = {}, Uargs(f^#) = {},
               Uargs(c_1) = {1}, Uargs(g^#) = {}, Uargs(c_2) = {1}
             We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
             Interpretation Functions:
              f(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
              empty() = [0]
              cons(x1, x2) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
              g(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
              f^#(x1, x2) = [3] x1 + [0] x2 + [0]
              c_0() = [0]
              c_1(x1) = [1] x1 + [0]
              g^#(x1, x2, x3) = [3] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
              c_2(x1) = [1] x1 + [0]
           
           We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
           
           'matrix-interpretation of dimension 1'
           --------------------------------------
           Answer:           YES(?,O(n^1))
           Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
             Strict Rules:
               {  f^#(cons(x, k), l) -> c_1(g^#(k, l, cons(x, k)))
                , g^#(a, b, c) -> c_2(f^#(a, cons(b, c)))}
             Weak Rules: {}
           
           Proof Output:    
             The following argument positions are usable:
               Uargs(cons) = {}, Uargs(f^#) = {}, Uargs(c_1) = {1},
               Uargs(g^#) = {}, Uargs(c_2) = {1}
             We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
             Interpretation Functions:
              cons(x1, x2) = [1] x1 + [1] x2 + [4]
              f^#(x1, x2) = [1] x1 + [0] x2 + [0]
              c_1(x1) = [1] x1 + [1]
              g^#(x1, x2, x3) = [1] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [1]
              c_2(x1) = [1] x1 + [0]
         
         * Path {2,3}->{1}: YES(?,O(n^1))
           ------------------------------
           
           The usable rules of this path are empty.
           
           The weightgap principle applies, using the following adequate RMI:
             The following argument positions are usable:
               Uargs(f) = {}, Uargs(cons) = {}, Uargs(g) = {}, Uargs(f^#) = {},
               Uargs(c_1) = {1}, Uargs(g^#) = {}, Uargs(c_2) = {1}
             We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
             Interpretation Functions:
              f(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
              empty() = [0]
              cons(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
              g(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
              f^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
              c_0() = [0]
              c_1(x1) = [1] x1 + [0]
              g^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
              c_2(x1) = [1] x1 + [0]
           
           We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
           
           'matrix-interpretation of dimension 1'
           --------------------------------------
           Answer:           YES(?,O(n^1))
           Input Problem:    innermost DP runtime-complexity with respect to
             Strict Rules: {f^#(empty(), l) -> c_0()}
             Weak Rules:
               {  f^#(cons(x, k), l) -> c_1(g^#(k, l, cons(x, k)))
                , g^#(a, b, c) -> c_2(f^#(a, cons(b, c)))}
           
           Proof Output:    
             The following argument positions are usable:
               Uargs(cons) = {}, Uargs(f^#) = {}, Uargs(c_1) = {1},
               Uargs(g^#) = {}, Uargs(c_2) = {1}
             We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
             Interpretation Functions:
              empty() = [0]
              cons(x1, x2) = [1] x1 + [0] x2 + [0]
              f^#(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [1]
              c_0() = [0]
              c_1(x1) = [1] x1 + [0]
              g^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [1]
              c_2(x1) = [1] x1 + [0]

Tool RC1

Execution TimeUnknown
Answer
MAYBE
InputMixed TRS jones2

stdout:

MAYBE

Tool RC2

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputMixed TRS jones2

stdout:

YES(?,O(n^1))

'Fastest (timeout of 60.0 seconds)'
-----------------------------------
Answer:           YES(?,O(n^1))
Input Problem:    runtime-complexity with respect to
  Rules:
    {  f(empty(), l) -> l
     , f(cons(x, k), l) -> g(k, l, cons(x, k))
     , g(a, b, c) -> f(a, cons(b, c))}

Proof Output:    
  'wdg' proved the best result:
  
  Details:
  --------
    'wdg' succeeded with the following output:
     'wdg'
     -----
     Answer:           YES(?,O(n^1))
     Input Problem:    runtime-complexity with respect to
       Rules:
         {  f(empty(), l) -> l
          , f(cons(x, k), l) -> g(k, l, cons(x, k))
          , g(a, b, c) -> f(a, cons(b, c))}
     
     Proof Output:    
       Transformation Details:
       -----------------------
         We have computed the following set of weak (innermost) dependency pairs:
         
           {  1: f^#(empty(), l) -> c_0(l)
            , 2: f^#(cons(x, k), l) -> c_1(g^#(k, l, cons(x, k)))
            , 3: g^#(a, b, c) -> c_2(f^#(a, cons(b, c)))}
         
         Following Dependency Graph (modulo SCCs) was computed. (Answers to
         subproofs are indicated to the right.)
         
           ->{2,3}                                                     [   YES(?,O(n^1))    ]
              |
              `->{1}                                                   [   YES(?,O(n^1))    ]
           
         
       
       Sub-problems:
       -------------
         * Path {2,3}: YES(?,O(n^1))
           -------------------------
           
           The usable rules of this path are empty.
           
           The weightgap principle applies, using the following adequate RMI:
             The following argument positions are usable:
               Uargs(f) = {}, Uargs(cons) = {}, Uargs(g) = {}, Uargs(f^#) = {},
               Uargs(c_0) = {}, Uargs(c_1) = {1}, Uargs(g^#) = {},
               Uargs(c_2) = {1}
             We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
             Interpretation Functions:
              f(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
              empty() = [0]
              cons(x1, x2) = [1] x1 + [1] x2 + [0]
              g(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
              f^#(x1, x2) = [3] x1 + [0] x2 + [0]
              c_0(x1) = [0] x1 + [0]
              c_1(x1) = [1] x1 + [0]
              g^#(x1, x2, x3) = [3] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
              c_2(x1) = [1] x1 + [0]
           
           We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
           
           'matrix-interpretation of dimension 1'
           --------------------------------------
           Answer:           YES(?,O(n^1))
           Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
             Strict Rules:
               {  f^#(cons(x, k), l) -> c_1(g^#(k, l, cons(x, k)))
                , g^#(a, b, c) -> c_2(f^#(a, cons(b, c)))}
             Weak Rules: {}
           
           Proof Output:    
             The following argument positions are usable:
               Uargs(cons) = {}, Uargs(f^#) = {}, Uargs(c_1) = {1},
               Uargs(g^#) = {}, Uargs(c_2) = {1}
             We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
             Interpretation Functions:
              cons(x1, x2) = [1] x1 + [1] x2 + [4]
              f^#(x1, x2) = [1] x1 + [0] x2 + [0]
              c_1(x1) = [1] x1 + [1]
              g^#(x1, x2, x3) = [1] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [1]
              c_2(x1) = [1] x1 + [0]
         
         * Path {2,3}->{1}: YES(?,O(n^1))
           ------------------------------
           
           The usable rules of this path are empty.
           
           The weightgap principle applies, using the following adequate RMI:
             The following argument positions are usable:
               Uargs(f) = {}, Uargs(cons) = {}, Uargs(g) = {}, Uargs(f^#) = {},
               Uargs(c_0) = {}, Uargs(c_1) = {1}, Uargs(g^#) = {},
               Uargs(c_2) = {1}
             We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
             Interpretation Functions:
              f(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
              empty() = [0]
              cons(x1, x2) = [0] x1 + [0] x2 + [0]
              g(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
              f^#(x1, x2) = [0] x1 + [3] x2 + [0]
              c_0(x1) = [1] x1 + [0]
              c_1(x1) = [1] x1 + [0]
              g^#(x1, x2, x3) = [0] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
              c_2(x1) = [1] x1 + [0]
           
           We apply the sub-processor on the resulting sub-problem:
           
           'matrix-interpretation of dimension 1'
           --------------------------------------
           Answer:           YES(?,O(n^1))
           Input Problem:    DP runtime-complexity with respect to
             Strict Rules: {f^#(empty(), l) -> c_0(l)}
             Weak Rules:
               {  f^#(cons(x, k), l) -> c_1(g^#(k, l, cons(x, k)))
                , g^#(a, b, c) -> c_2(f^#(a, cons(b, c)))}
           
           Proof Output:    
             The following argument positions are usable:
               Uargs(cons) = {}, Uargs(f^#) = {}, Uargs(c_0) = {},
               Uargs(c_1) = {1}, Uargs(g^#) = {}, Uargs(c_2) = {1}
             We have the following constructor-restricted matrix interpretation:
             Interpretation Functions:
              empty() = [2]
              cons(x1, x2) = [1] x1 + [1] x2 + [4]
              f^#(x1, x2) = [2] x1 + [0] x2 + [0]
              c_0(x1) = [0] x1 + [1]
              c_1(x1) = [1] x1 + [7]
              g^#(x1, x2, x3) = [2] x1 + [0] x2 + [0] x3 + [0]
              c_2(x1) = [1] x1 + [0]