Problem SK90 2.41

Tool CaT

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

Problem:
 norm(nil()) -> 0()
 norm(g(x,y)) -> s(norm(x))
 f(x,nil()) -> g(nil(),x)
 f(x,g(y,z)) -> g(f(x,y),z)
 rem(nil(),y) -> nil()
 rem(g(x,y),0()) -> g(x,y)
 rem(g(x,y),s(z)) -> rem(x,z)

Proof:
 Bounds Processor:
  bound: 1
  enrichment: match
  automaton:
   final states: {7,6,5}
   transitions:
    rem1(3,1) -> 7*
    rem1(3,3) -> 7*
    rem1(4,2) -> 7*
    rem1(4,4) -> 7*
    rem1(1,2) -> 7*
    rem1(1,4) -> 7*
    rem1(2,1) -> 7*
    rem1(2,3) -> 7*
    rem1(3,2) -> 7*
    rem1(3,4) -> 7*
    rem1(4,1) -> 7*
    rem1(4,3) -> 7*
    rem1(1,1) -> 7*
    rem1(1,3) -> 7*
    rem1(2,2) -> 7*
    rem1(2,4) -> 7*
    g1(3,1) -> 7*
    g1(3,3) -> 7*
    g1(4,2) -> 7*
    g1(4,4) -> 7*
    g1(10,1) -> 10,6
    g1(10,3) -> 10,6
    g1(1,2) -> 7*
    g1(1,4) -> 7*
    g1(7,1) -> 10*
    g1(2,1) -> 7*
    g1(7,3) -> 10*
    g1(2,3) -> 7*
    g1(3,2) -> 7*
    g1(3,4) -> 7*
    g1(4,1) -> 7*
    g1(4,3) -> 7*
    g1(10,2) -> 10,6
    g1(10,4) -> 10,6
    g1(1,1) -> 7*
    g1(1,3) -> 7*
    g1(7,2) -> 10*
    g1(2,2) -> 7*
    g1(7,4) -> 10*
    g1(2,4) -> 7*
    nil1() -> 7,10
    f1(3,1) -> 10*
    f1(3,3) -> 10*
    f1(4,2) -> 10*
    f1(4,4) -> 10*
    f1(1,2) -> 10*
    f1(1,4) -> 10*
    f1(2,1) -> 10*
    f1(2,3) -> 10*
    f1(3,2) -> 10*
    f1(3,4) -> 10*
    f1(4,1) -> 10*
    f1(4,3) -> 10*
    f1(1,1) -> 10*
    f1(1,3) -> 10*
    f1(2,2) -> 10*
    f1(2,4) -> 10*
    s1(8) -> 8,5
    norm1(2) -> 8*
    norm1(4) -> 8*
    norm1(1) -> 8*
    norm1(3) -> 8*
    01() -> 8,5
    norm0(2) -> 5*
    norm0(4) -> 5*
    norm0(1) -> 5*
    norm0(3) -> 5*
    nil0() -> 1*
    00() -> 2*
    g0(3,1) -> 3*
    g0(3,3) -> 3*
    g0(4,2) -> 3*
    g0(4,4) -> 3*
    g0(1,2) -> 3*
    g0(1,4) -> 3*
    g0(2,1) -> 3*
    g0(2,3) -> 3*
    g0(3,2) -> 3*
    g0(3,4) -> 3*
    g0(4,1) -> 3*
    g0(4,3) -> 3*
    g0(1,1) -> 3*
    g0(1,3) -> 3*
    g0(2,2) -> 3*
    g0(2,4) -> 3*
    s0(2) -> 4*
    s0(4) -> 4*
    s0(1) -> 4*
    s0(3) -> 4*
    f0(3,1) -> 6*
    f0(3,3) -> 6*
    f0(4,2) -> 6*
    f0(4,4) -> 6*
    f0(1,2) -> 6*
    f0(1,4) -> 6*
    f0(2,1) -> 6*
    f0(2,3) -> 6*
    f0(3,2) -> 6*
    f0(3,4) -> 6*
    f0(4,1) -> 6*
    f0(4,3) -> 6*
    f0(1,1) -> 6*
    f0(1,3) -> 6*
    f0(2,2) -> 6*
    f0(2,4) -> 6*
    rem0(3,1) -> 7*
    rem0(3,3) -> 7*
    rem0(4,2) -> 7*
    rem0(4,4) -> 7*
    rem0(1,2) -> 7*
    rem0(1,4) -> 7*
    rem0(2,1) -> 7*
    rem0(2,3) -> 7*
    rem0(3,2) -> 7*
    rem0(3,4) -> 7*
    rem0(4,1) -> 7*
    rem0(4,3) -> 7*
    rem0(1,1) -> 7*
    rem0(1,3) -> 7*
    rem0(2,2) -> 7*
    rem0(2,4) -> 7*
  problem:
   
  Qed

Tool IRC1

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

Tool IRC2

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

'Fastest (timeout of 60.0 seconds)'
-----------------------------------
Answer:           YES(?,O(n^1))
Input Problem:    innermost runtime-complexity with respect to
  Rules:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}

Proof Output:    
  'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' proved the best result:
  
  Details:
  --------
    'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' succeeded with the following output:
     'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match''
     --------------------------------------------------------------
     Answer:           YES(?,O(n^1))
     Input Problem:    innermost runtime-complexity with respect to
       Rules:
         {  norm(nil()) -> 0()
          , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
          , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
          , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
          , rem(nil(), y) -> nil()
          , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
          , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
     
     Proof Output:    
       The problem is match-bounded by 1.
       The enriched problem is compatible with the following automaton:
       {  norm_0(2) -> 1
        , norm_1(2) -> 3
        , nil_0() -> 2
        , nil_1() -> 1
        , nil_1() -> 4
        , 0_0() -> 2
        , 0_1() -> 1
        , 0_1() -> 3
        , g_0(2, 2) -> 2
        , g_1(2, 2) -> 1
        , g_1(4, 2) -> 1
        , g_1(4, 2) -> 4
        , s_0(2) -> 2
        , s_1(3) -> 1
        , s_1(3) -> 3
        , f_0(2, 2) -> 1
        , f_1(2, 2) -> 4
        , rem_0(2, 2) -> 1
        , rem_1(2, 2) -> 1}

Tool RC1

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

Tool RC2

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

'Fastest (timeout of 60.0 seconds)'
-----------------------------------
Answer:           YES(?,O(n^1))
Input Problem:    runtime-complexity with respect to
  Rules:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}

Proof Output:    
  'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' proved the best result:
  
  Details:
  --------
    'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' succeeded with the following output:
     'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match''
     --------------------------------------------------------------
     Answer:           YES(?,O(n^1))
     Input Problem:    runtime-complexity with respect to
       Rules:
         {  norm(nil()) -> 0()
          , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
          , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
          , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
          , rem(nil(), y) -> nil()
          , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
          , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
     
     Proof Output:    
       The problem is match-bounded by 1.
       The enriched problem is compatible with the following automaton:
       {  norm_0(2) -> 1
        , norm_1(2) -> 3
        , nil_0() -> 2
        , nil_1() -> 1
        , nil_1() -> 4
        , 0_0() -> 2
        , 0_1() -> 1
        , 0_1() -> 3
        , g_0(2, 2) -> 2
        , g_1(2, 2) -> 1
        , g_1(4, 2) -> 1
        , g_1(4, 2) -> 4
        , s_0(2) -> 2
        , s_1(3) -> 1
        , s_1(3) -> 3
        , f_0(2, 2) -> 1
        , f_1(2, 2) -> 4
        , rem_0(2, 2) -> 1
        , rem_1(2, 2) -> 1}

Tool pair1rc

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: none

Certificate: YES(?,O(n^1))

Application of 'pair1 (timeout of 60.0 seconds)':
-------------------------------------------------
  The processor is not applicable, reason is:
   Input problem is not restricted to innermost rewriting
  
  We abort the transformation and continue with the subprocessor on the problem
  
  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: none
  
  1) 'Fastest' proved the goal fastest:
     
     'Fastest' proved the goal fastest:
     
     'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' proved the goal fastest:
     
     The problem is match-bounded by 1.
     The enriched problem is compatible with the following automaton:
     {  norm_0(2) -> 1
      , norm_1(2) -> 3
      , nil_0() -> 2
      , nil_1() -> 1
      , nil_1() -> 4
      , 0_0() -> 2
      , 0_1() -> 1
      , 0_1() -> 3
      , g_0(2, 2) -> 2
      , g_1(2, 2) -> 1
      , g_1(4, 2) -> 1
      , g_1(4, 2) -> 4
      , s_0(2) -> 2
      , s_1(3) -> 1
      , s_1(3) -> 3
      , f_0(2, 2) -> 1
      , f_1(2, 2) -> 4
      , rem_0(2, 2) -> 1
      , rem_1(2, 2) -> 1}
  

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

Tool pair2rc

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: none

Certificate: YES(?,O(n^1))

Application of 'pair2 (timeout of 60.0 seconds)':
-------------------------------------------------
  The processor is not applicable, reason is:
   Input problem is not restricted to innermost rewriting
  
  We abort the transformation and continue with the subprocessor on the problem
  
  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: none
  
  1) 'Fastest' proved the goal fastest:
     
     'Fastest' proved the goal fastest:
     
     'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' proved the goal fastest:
     
     The problem is match-bounded by 1.
     The enriched problem is compatible with the following automaton:
     {  norm_0(2) -> 1
      , norm_1(2) -> 3
      , nil_0() -> 2
      , nil_1() -> 1
      , nil_1() -> 4
      , 0_0() -> 2
      , 0_1() -> 1
      , 0_1() -> 3
      , g_0(2, 2) -> 2
      , g_1(2, 2) -> 1
      , g_1(4, 2) -> 1
      , g_1(4, 2) -> 4
      , s_0(2) -> 2
      , s_1(3) -> 1
      , s_1(3) -> 3
      , f_0(2, 2) -> 1
      , f_1(2, 2) -> 4
      , rem_0(2, 2) -> 1
      , rem_1(2, 2) -> 1}
  

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

Tool pair3irc

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,O(n^1))

Application of 'pair3 (timeout of 60.0 seconds)':
-------------------------------------------------
  The input problem contains no overlaps that give rise to inapplicable rules.
  
  We abort the transformation and continue with the subprocessor on the problem
  
  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost
  
  1) 'Fastest' proved the goal fastest:
     
     'Fastest' proved the goal fastest:
     
     'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' proved the goal fastest:
     
     The problem is match-bounded by 1.
     The enriched problem is compatible with the following automaton:
     {  norm_0(2) -> 1
      , norm_1(2) -> 3
      , nil_0() -> 2
      , nil_1() -> 1
      , nil_1() -> 4
      , 0_0() -> 2
      , 0_1() -> 1
      , 0_1() -> 3
      , g_0(2, 2) -> 2
      , g_1(2, 2) -> 1
      , g_1(4, 2) -> 1
      , g_1(4, 2) -> 4
      , s_0(2) -> 2
      , s_1(3) -> 1
      , s_1(3) -> 3
      , f_0(2, 2) -> 1
      , f_1(2, 2) -> 4
      , rem_0(2, 2) -> 1
      , rem_1(2, 2) -> 1}
  

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

Tool pair3rc

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: none

Certificate: YES(?,O(n^1))

Application of 'pair3 (timeout of 60.0 seconds)':
-------------------------------------------------
  The processor is not applicable, reason is:
   Input problem is not restricted to innermost rewriting
  
  We abort the transformation and continue with the subprocessor on the problem
  
  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: none
  
  1) 'Fastest' proved the goal fastest:
     
     'Fastest' proved the goal fastest:
     
     'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' proved the goal fastest:
     
     The problem is match-bounded by 1.
     The enriched problem is compatible with the following automaton:
     {  norm_0(2) -> 1
      , norm_1(2) -> 3
      , nil_0() -> 2
      , nil_1() -> 1
      , nil_1() -> 4
      , 0_0() -> 2
      , 0_1() -> 1
      , 0_1() -> 3
      , g_0(2, 2) -> 2
      , g_1(2, 2) -> 1
      , g_1(4, 2) -> 1
      , g_1(4, 2) -> 4
      , s_0(2) -> 2
      , s_1(3) -> 1
      , s_1(3) -> 3
      , f_0(2, 2) -> 1
      , f_1(2, 2) -> 4
      , rem_0(2, 2) -> 1
      , rem_1(2, 2) -> 1}
  

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

Tool rc

Execution TimeUnknown
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: none

Certificate: YES(?,O(n^1))

Application of 'rc (timeout of 60.0 seconds)':
----------------------------------------------
  'Fastest' proved the goal fastest:
  
  'Fastest' proved the goal fastest:
  
  'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match' (timeout of 100.0 seconds)' proved the goal fastest:
  
  The problem is match-bounded by 1.
  The enriched problem is compatible with the following automaton:
  {  norm_0(2) -> 1
   , norm_1(2) -> 3
   , nil_0() -> 2
   , nil_1() -> 1
   , nil_1() -> 4
   , 0_0() -> 2
   , 0_1() -> 1
   , 0_1() -> 3
   , g_0(2, 2) -> 2
   , g_1(2, 2) -> 1
   , g_1(4, 2) -> 1
   , g_1(4, 2) -> 4
   , s_0(2) -> 2
   , s_1(3) -> 1
   , s_1(3) -> 3
   , f_0(2, 2) -> 1
   , f_1(2, 2) -> 4
   , rem_0(2, 2) -> 1
   , rem_1(2, 2) -> 1}

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

Tool tup3irc

Execution Time0.10269618ms
Answer
YES(?,O(n^1))
InputSK90 2.41

stdout:

YES(?,O(n^1))

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,O(n^1))

Application of 'tup3 (timeout of 60.0 seconds)':
------------------------------------------------
  The input problem contains no overlaps that give rise to inapplicable rules.
  
  We abort the transformation and continue with the subprocessor on the problem
  
  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost
  
  1) 'Fastest' proved the goal fastest:
     
     'Fastest' proved the goal fastest:
     
     'Bounds with minimal-enrichment and initial automaton 'match'' proved the goal fastest:
     
     The problem is match-bounded by 1.
     The enriched problem is compatible with the following automaton:
     {  norm_0(2) -> 1
      , norm_1(2) -> 3
      , nil_0() -> 2
      , nil_1() -> 1
      , nil_1() -> 4
      , 0_0() -> 2
      , 0_1() -> 1
      , 0_1() -> 3
      , g_0(2, 2) -> 2
      , g_1(2, 2) -> 1
      , g_1(4, 2) -> 1
      , g_1(4, 2) -> 4
      , s_0(2) -> 2
      , s_1(3) -> 1
      , s_1(3) -> 3
      , f_0(2, 2) -> 1
      , f_1(2, 2) -> 4
      , rem_0(2, 2) -> 1
      , rem_1(2, 2) -> 1}
  

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))