Problem SK90 2.41

YES(?,ELEMENTARY)

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,ELEMENTARY)

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  Lightweight Multiset Path Order () as induced by the safe mapping
  
   safe(norm) = {}, safe(nil) = {}, safe(0) = {}, safe(g) = {1, 2},
   safe(s) = {1}, safe(f) = {}, safe(rem) = {1}
  
  and precedence
  
   empty .
  
  Following symbols are considered recursive:
  
   {norm, f, rem}
  
  The recursion depth is 1 .
  
  For your convenience, here are the oriented rules in predicative
  notation (possibly applying argument filtering):
  
   Strict DPs: {}
   Weak DPs  : {}
   Strict Trs:
     {  norm(nil();) -> 0()
      , norm(g(; x, y);) -> s(; norm(x;))
      , f(x, nil();) -> g(; nil(), x)
      , f(x, g(; y, z);) -> g(; f(x, y;), z)
      , rem(y; nil()) -> nil()
      , rem(0(); g(; x, y)) -> g(; x, y)
      , rem(s(; z); g(; x, y)) -> rem(z; x)}
   Weak Trs  : {}

Hurray, we answered YES(?,ELEMENTARY)

YES(?,PRIMREC)

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,PRIMREC)

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  'multiset path orders' as induced by the precedence
  
   norm > s, nil > 0, f > g .

Hurray, we answered YES(?,PRIMREC)

YES(?,POLY)

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,POLY)

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  Polynomial Path Order () as induced by the safe mapping
  
   safe(norm) = {}, safe(nil) = {}, safe(0) = {}, safe(g) = {1, 2},
   safe(s) = {1}, safe(f) = {}, safe(rem) = {}
  
  and precedence
  
   empty .
  
  Following symbols are considered recursive:
  
   {norm, f, rem}
  
  The recursion depth is 1 .
  
  For your convenience, here are the oriented rules in predicative
  notation (possibly applying argument filtering):
  
   Strict DPs: {}
   Weak DPs  : {}
   Strict Trs:
     {  norm(nil();) -> 0()
      , norm(g(; x, y);) -> s(; norm(x;))
      , f(x, nil();) -> g(; nil(), x)
      , f(x, g(; y, z);) -> g(; f(x, y;), z)
      , rem(nil(), y;) -> nil()
      , rem(g(; x, y), 0();) -> g(; x, y)
      , rem(g(; x, y), s(; z);) -> rem(x, z;)}
   Weak Trs  : {}

Hurray, we answered YES(?,POLY)

YES(?,POLY)

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,POLY)

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  Polynomial Path Order (PS) as induced by the safe mapping
  
   safe(norm) = {}, safe(nil) = {}, safe(0) = {}, safe(g) = {1, 2},
   safe(s) = {1}, safe(f) = {1}, safe(rem) = {1}
  
  and precedence
  
   empty .
  
  Following symbols are considered recursive:
  
   {norm, f, rem}
  
  The recursion depth is 1 .
  
  For your convenience, here are the oriented rules in predicative
  notation (possibly applying argument filtering):
  
   Strict DPs: {}
   Weak DPs  : {}
   Strict Trs:
     {  norm(nil();) -> 0()
      , norm(g(; x, y);) -> s(; norm(x;))
      , f(nil(); x) -> g(; nil(), x)
      , f(g(; y, z); x) -> g(; f(y; x), z)
      , rem(y; nil()) -> nil()
      , rem(0(); g(; x, y)) -> g(; x, y)
      , rem(s(; z); g(; x, y)) -> rem(z; x)}
   Weak Trs  : {}

Hurray, we answered YES(?,POLY)

YES(?,O(n^1))

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,O(n^1))

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  Small Polynomial Path Order (WSC) as induced by the safe mapping
  
   safe(norm) = {}, safe(nil) = {}, safe(0) = {}, safe(g) = {1, 2},
   safe(s) = {1}, safe(f) = {}, safe(rem) = {2}
  
  and precedence
  
   empty .
  
  Following symbols are considered recursive:
  
   {norm, f, rem}
  
  The recursion depth is 1 .
  
  For your convenience, here are the oriented rules in predicative
  notation (possibly applying argument filtering):
  
   Strict DPs: {}
   Weak DPs  : {}
   Strict Trs:
     {  norm(nil();) -> 0()
      , norm(g(; x, y);) -> s(; norm(x;))
      , f(x, nil();) -> g(; nil(), x)
      , f(x, g(; y, z);) -> g(; f(x, y;), z)
      , rem(nil(); y) -> nil()
      , rem(g(; x, y); 0()) -> g(; x, y)
      , rem(g(; x, y); s(; z)) -> rem(x; z)}
   Weak Trs  : {}

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))

YES(?,O(n^1))

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  norm(nil()) -> 0()
     , norm(g(x, y)) -> s(norm(x))
     , f(x, nil()) -> g(nil(), x)
     , f(x, g(y, z)) -> g(f(x, y), z)
     , rem(nil(), y) -> nil()
     , rem(g(x, y), 0()) -> g(x, y)
     , rem(g(x, y), s(z)) -> rem(x, z)}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,O(n^1))

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  Small Polynomial Path Order (WSC,
                             PS) as induced by the safe mapping
  
   safe(norm) = {}, safe(nil) = {}, safe(0) = {}, safe(g) = {1, 2},
   safe(s) = {1}, safe(f) = {1}, safe(rem) = {2}
  
  and precedence
  
   empty .
  
  Following symbols are considered recursive:
  
   {norm, f, rem}
  
  The recursion depth is 1 .
  
  For your convenience, here are the oriented rules in predicative
  notation (possibly applying argument filtering):
  
   Strict DPs: {}
   Weak DPs  : {}
   Strict Trs:
     {  norm(nil();) -> 0()
      , norm(g(; x, y);) -> s(; norm(x;))
      , f(nil(); x) -> g(; nil(), x)
      , f(g(; y, z); x) -> g(; f(y; x), z)
      , rem(nil(); y) -> nil()
      , rem(g(; x, y); 0()) -> g(; x, y)
      , rem(g(; x, y); s(; z)) -> rem(x; z)}
   Weak Trs  : {}

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))