Problem Transformed CSR 04 Ex6 Luc98 Z

YES(?,ELEMENTARY)

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  first(0(), X) -> nil()
     , first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(Y, n__first(X, activate(Z)))
     , from(X) -> cons(X, n__from(s(X)))
     , first(X1, X2) -> n__first(X1, X2)
     , from(X) -> n__from(X)
     , activate(n__first(X1, X2)) -> first(X1, X2)
     , activate(n__from(X)) -> from(X)
     , activate(X) -> X}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,ELEMENTARY)

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  Lightweight Multiset Path Order () as induced by the safe mapping
  
   safe(first) = {}, safe(0) = {}, safe(nil) = {}, safe(s) = {1},
   safe(cons) = {1, 2}, safe(n__first) = {1, 2}, safe(activate) = {},
   safe(from) = {}, safe(n__from) = {1}
  
  and precedence
  
   first ~ activate, activate ~ from .
  
  Following symbols are considered recursive:
  
   {first, activate, from}
  
  The recursion depth is 1 .
  
  For your convenience, here are the oriented rules in predicative
  notation (possibly applying argument filtering):
  
   Strict DPs: {}
   Weak DPs  : {}
   Strict Trs:
     {  first(0(), X;) -> nil()
      , first(s(; X), cons(; Y, Z);) ->
        cons(; Y, n__first(; X, activate(Z;)))
      , from(X;) -> cons(; X, n__from(; s(; X)))
      , first(X1, X2;) -> n__first(; X1, X2)
      , from(X;) -> n__from(; X)
      , activate(n__first(; X1, X2);) -> first(X1, X2;)
      , activate(n__from(; X);) -> from(X;)
      , activate(X;) -> X}
   Weak Trs  : {}

Hurray, we answered YES(?,ELEMENTARY)

YES(?,PRIMREC)

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  first(0(), X) -> nil()
     , first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(Y, n__first(X, activate(Z)))
     , from(X) -> cons(X, n__from(s(X)))
     , first(X1, X2) -> n__first(X1, X2)
     , from(X) -> n__from(X)
     , activate(n__first(X1, X2)) -> first(X1, X2)
     , activate(n__from(X)) -> from(X)
     , activate(X) -> X}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,PRIMREC)

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  'multiset path orders' as induced by the precedence
  
   first > cons, first > n__first, 0 > nil, activate > from, from > s,
   from > cons, from > n__from, first ~ activate .

Hurray, we answered YES(?,PRIMREC)

YES(?,POLY)

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  first(0(), X) -> nil()
     , first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(Y, n__first(X, activate(Z)))
     , from(X) -> cons(X, n__from(s(X)))
     , first(X1, X2) -> n__first(X1, X2)
     , from(X) -> n__from(X)
     , activate(n__first(X1, X2)) -> first(X1, X2)
     , activate(n__from(X)) -> from(X)
     , activate(X) -> X}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,POLY)

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  Polynomial Path Order () as induced by the safe mapping
  
   safe(first) = {}, safe(0) = {}, safe(nil) = {}, safe(s) = {1},
   safe(cons) = {1, 2}, safe(n__first) = {1, 2}, safe(activate) = {},
   safe(from) = {}, safe(n__from) = {1}
  
  and precedence
  
   first ~ activate, activate ~ from .
  
  Following symbols are considered recursive:
  
   {first, activate, from}
  
  The recursion depth is 1 .
  
  For your convenience, here are the oriented rules in predicative
  notation (possibly applying argument filtering):
  
   Strict DPs: {}
   Weak DPs  : {}
   Strict Trs:
     {  first(0(), X;) -> nil()
      , first(s(; X), cons(; Y, Z);) ->
        cons(; Y, n__first(; X, activate(Z;)))
      , from(X;) -> cons(; X, n__from(; s(; X)))
      , first(X1, X2;) -> n__first(; X1, X2)
      , from(X;) -> n__from(; X)
      , activate(n__first(; X1, X2);) -> first(X1, X2;)
      , activate(n__from(; X);) -> from(X;)
      , activate(X;) -> X}
   Weak Trs  : {}

Hurray, we answered YES(?,POLY)

YES(?,POLY)

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  first(0(), X) -> nil()
     , first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(Y, n__first(X, activate(Z)))
     , from(X) -> cons(X, n__from(s(X)))
     , first(X1, X2) -> n__first(X1, X2)
     , from(X) -> n__from(X)
     , activate(n__first(X1, X2)) -> first(X1, X2)
     , activate(n__from(X)) -> from(X)
     , activate(X) -> X}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,POLY)

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  Polynomial Path Order (PS) as induced by the safe mapping
  
   safe(first) = {}, safe(0) = {}, safe(nil) = {}, safe(s) = {1},
   safe(cons) = {1, 2}, safe(n__first) = {1, 2}, safe(activate) = {},
   safe(from) = {1}, safe(n__from) = {1}
  
  and precedence
  
   first ~ activate, activate ~ from .
  
  Following symbols are considered recursive:
  
   {first, activate, from}
  
  The recursion depth is 1 .
  
  For your convenience, here are the oriented rules in predicative
  notation (possibly applying argument filtering):
  
   Strict DPs: {}
   Weak DPs  : {}
   Strict Trs:
     {  first(0(), X;) -> nil()
      , first(s(; X), cons(; Y, Z);) ->
        cons(; Y, n__first(; X, activate(Z;)))
      , from(; X) -> cons(; X, n__from(; s(; X)))
      , first(X1, X2;) -> n__first(; X1, X2)
      , from(; X) -> n__from(; X)
      , activate(n__first(; X1, X2);) -> first(X1, X2;)
      , activate(n__from(; X);) -> from(; X)
      , activate(X;) -> X}
   Weak Trs  : {}

Hurray, we answered YES(?,POLY)

MAYBE

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  first(0(), X) -> nil()
     , first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(Y, n__first(X, activate(Z)))
     , from(X) -> cons(X, n__from(s(X)))
     , first(X1, X2) -> n__first(X1, X2)
     , from(X) -> n__from(X)
     , activate(n__first(X1, X2)) -> first(X1, X2)
     , activate(n__from(X)) -> from(X)
     , activate(X) -> X}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: MAYBE

Proof:
  The input cannot be shown compatible

Arrrr..

YES(?,O(n^1))

We consider the following Problem:

  Strict Trs:
    {  first(0(), X) -> nil()
     , first(s(X), cons(Y, Z)) -> cons(Y, n__first(X, activate(Z)))
     , from(X) -> cons(X, n__from(s(X)))
     , first(X1, X2) -> n__first(X1, X2)
     , from(X) -> n__from(X)
     , activate(n__first(X1, X2)) -> first(X1, X2)
     , activate(n__from(X)) -> from(X)
     , activate(X) -> X}
  StartTerms: basic terms
  Strategy: innermost

Certificate: YES(?,O(n^1))

Proof:
  The input was oriented with the instance of
  Small Polynomial Path Order (WSC,
                             PS) as induced by the safe mapping
  
   safe(first) = {1}, safe(0) = {}, safe(nil) = {}, safe(s) = {1},
   safe(cons) = {1, 2}, safe(n__first) = {1, 2}, safe(activate) = {},
   safe(from) = {1}, safe(n__from) = {1}
  
  and precedence
  
   first ~ activate, activate ~ from .
  
  Following symbols are considered recursive:
  
   {first, activate, from}
  
  The recursion depth is 1 .
  
  For your convenience, here are the oriented rules in predicative
  notation (possibly applying argument filtering):
  
   Strict DPs: {}
   Weak DPs  : {}
   Strict Trs:
     {  first(X; 0()) -> nil()
      , first(cons(; Y, Z); s(; X)) ->
        cons(; Y, n__first(; X, activate(Z;)))
      , from(; X) -> cons(; X, n__from(; s(; X)))
      , first(X2; X1) -> n__first(; X1, X2)
      , from(; X) -> n__from(; X)
      , activate(n__first(; X1, X2);) -> first(X2; X1)
      , activate(n__from(; X);) -> from(; X)
      , activate(X;) -> X}
   Weak Trs  : {}

Hurray, we answered YES(?,O(n^1))