MAYBE

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate MAYBE.

Strict Trs:
  { eq(0(), 0()) -> true()
  , eq(0(), s(x)) -> false()
  , eq(s(x), 0()) -> false()
  , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
  , le(0(), y) -> true()
  , le(s(x), 0()) -> false()
  , le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
  , app(nil(), y) -> y
  , app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
  , min(nil()) -> 0()
  , min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0())
  , minIter(nil(), add(n, y), m) ->
    minIter(add(n, y), add(n, y), s(m))
  , minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m)
  , if_min(true(), x, y, m) -> m
  , if_min(false(), x, y, m) -> minIter(x, y, m)
  , head(add(n, x)) -> n
  , tail(nil()) -> nil()
  , tail(add(n, x)) -> x
  , null(nil()) -> true()
  , null(add(n, x)) -> false()
  , rm(n, nil()) -> nil()
  , rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
  , if_rm(true(), n, add(m, x)) -> rm(n, x)
  , if_rm(false(), n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
  , minsort(nil(), nil()) -> nil()
  , minsort(add(n, x), y) ->
    if_minsort(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y)
  , if_minsort(true(), add(n, x), y) ->
    add(n, minsort(app(rm(n, x), y), nil()))
  , if_minsort(false(), add(n, x), y) -> minsort(x, add(n, y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  MAYBE

We add following dependency tuples:

Strict DPs:
  { eq^#(0(), 0()) -> c_1()
  , eq^#(0(), s(x)) -> c_2()
  , eq^#(s(x), 0()) -> c_3()
  , eq^#(s(x), s(y)) -> c_4(eq^#(x, y))
  , le^#(0(), y) -> c_5()
  , le^#(s(x), 0()) -> c_6()
  , le^#(s(x), s(y)) -> c_7(le^#(x, y))
  , app^#(nil(), y) -> c_8()
  , app^#(add(n, x), y) -> c_9(app^#(x, y))
  , min^#(nil()) -> c_10()
  , min^#(add(n, x)) -> c_11(minIter^#(add(n, x), add(n, x), 0()))
  , minIter^#(nil(), add(n, y), m) ->
    c_12(minIter^#(add(n, y), add(n, y), s(m)))
  , minIter^#(add(n, x), y, m) ->
    c_13(if_min^#(le(n, m), x, y, m), le^#(n, m))
  , if_min^#(true(), x, y, m) -> c_14()
  , if_min^#(false(), x, y, m) -> c_15(minIter^#(x, y, m))
  , head^#(add(n, x)) -> c_16()
  , tail^#(nil()) -> c_17()
  , tail^#(add(n, x)) -> c_18()
  , null^#(nil()) -> c_19()
  , null^#(add(n, x)) -> c_20()
  , rm^#(n, nil()) -> c_21()
  , rm^#(n, add(m, x)) ->
    c_22(if_rm^#(eq(n, m), n, add(m, x)), eq^#(n, m))
  , if_rm^#(true(), n, add(m, x)) -> c_23(rm^#(n, x))
  , if_rm^#(false(), n, add(m, x)) -> c_24(rm^#(n, x))
  , minsort^#(nil(), nil()) -> c_25()
  , minsort^#(add(n, x), y) ->
    c_26(if_minsort^#(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y),
         eq^#(n, min(add(n, x))),
         min^#(add(n, x)))
  , if_minsort^#(true(), add(n, x), y) ->
    c_27(minsort^#(app(rm(n, x), y), nil()),
         app^#(rm(n, x), y),
         rm^#(n, x))
  , if_minsort^#(false(), add(n, x), y) ->
    c_28(minsort^#(x, add(n, y))) }

and mark the set of starting terms.

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate MAYBE.

Strict DPs:
  { eq^#(0(), 0()) -> c_1()
  , eq^#(0(), s(x)) -> c_2()
  , eq^#(s(x), 0()) -> c_3()
  , eq^#(s(x), s(y)) -> c_4(eq^#(x, y))
  , le^#(0(), y) -> c_5()
  , le^#(s(x), 0()) -> c_6()
  , le^#(s(x), s(y)) -> c_7(le^#(x, y))
  , app^#(nil(), y) -> c_8()
  , app^#(add(n, x), y) -> c_9(app^#(x, y))
  , min^#(nil()) -> c_10()
  , min^#(add(n, x)) -> c_11(minIter^#(add(n, x), add(n, x), 0()))
  , minIter^#(nil(), add(n, y), m) ->
    c_12(minIter^#(add(n, y), add(n, y), s(m)))
  , minIter^#(add(n, x), y, m) ->
    c_13(if_min^#(le(n, m), x, y, m), le^#(n, m))
  , if_min^#(true(), x, y, m) -> c_14()
  , if_min^#(false(), x, y, m) -> c_15(minIter^#(x, y, m))
  , head^#(add(n, x)) -> c_16()
  , tail^#(nil()) -> c_17()
  , tail^#(add(n, x)) -> c_18()
  , null^#(nil()) -> c_19()
  , null^#(add(n, x)) -> c_20()
  , rm^#(n, nil()) -> c_21()
  , rm^#(n, add(m, x)) ->
    c_22(if_rm^#(eq(n, m), n, add(m, x)), eq^#(n, m))
  , if_rm^#(true(), n, add(m, x)) -> c_23(rm^#(n, x))
  , if_rm^#(false(), n, add(m, x)) -> c_24(rm^#(n, x))
  , minsort^#(nil(), nil()) -> c_25()
  , minsort^#(add(n, x), y) ->
    c_26(if_minsort^#(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y),
         eq^#(n, min(add(n, x))),
         min^#(add(n, x)))
  , if_minsort^#(true(), add(n, x), y) ->
    c_27(minsort^#(app(rm(n, x), y), nil()),
         app^#(rm(n, x), y),
         rm^#(n, x))
  , if_minsort^#(false(), add(n, x), y) ->
    c_28(minsort^#(x, add(n, y))) }
Weak Trs:
  { eq(0(), 0()) -> true()
  , eq(0(), s(x)) -> false()
  , eq(s(x), 0()) -> false()
  , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
  , le(0(), y) -> true()
  , le(s(x), 0()) -> false()
  , le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
  , app(nil(), y) -> y
  , app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
  , min(nil()) -> 0()
  , min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0())
  , minIter(nil(), add(n, y), m) ->
    minIter(add(n, y), add(n, y), s(m))
  , minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m)
  , if_min(true(), x, y, m) -> m
  , if_min(false(), x, y, m) -> minIter(x, y, m)
  , head(add(n, x)) -> n
  , tail(nil()) -> nil()
  , tail(add(n, x)) -> x
  , null(nil()) -> true()
  , null(add(n, x)) -> false()
  , rm(n, nil()) -> nil()
  , rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
  , if_rm(true(), n, add(m, x)) -> rm(n, x)
  , if_rm(false(), n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
  , minsort(nil(), nil()) -> nil()
  , minsort(add(n, x), y) ->
    if_minsort(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y)
  , if_minsort(true(), add(n, x), y) ->
    add(n, minsort(app(rm(n, x), y), nil()))
  , if_minsort(false(), add(n, x), y) -> minsort(x, add(n, y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  MAYBE

We estimate the number of application of
{1,2,3,5,6,8,10,14,16,17,18,19,20,21,25} by applications of
Pre({1,2,3,5,6,8,10,14,16,17,18,19,20,21,25}) =
{4,7,9,13,22,23,24,26,27}. Here rules are labeled as follows:

  DPs:
    { 1: eq^#(0(), 0()) -> c_1()
    , 2: eq^#(0(), s(x)) -> c_2()
    , 3: eq^#(s(x), 0()) -> c_3()
    , 4: eq^#(s(x), s(y)) -> c_4(eq^#(x, y))
    , 5: le^#(0(), y) -> c_5()
    , 6: le^#(s(x), 0()) -> c_6()
    , 7: le^#(s(x), s(y)) -> c_7(le^#(x, y))
    , 8: app^#(nil(), y) -> c_8()
    , 9: app^#(add(n, x), y) -> c_9(app^#(x, y))
    , 10: min^#(nil()) -> c_10()
    , 11: min^#(add(n, x)) ->
          c_11(minIter^#(add(n, x), add(n, x), 0()))
    , 12: minIter^#(nil(), add(n, y), m) ->
          c_12(minIter^#(add(n, y), add(n, y), s(m)))
    , 13: minIter^#(add(n, x), y, m) ->
          c_13(if_min^#(le(n, m), x, y, m), le^#(n, m))
    , 14: if_min^#(true(), x, y, m) -> c_14()
    , 15: if_min^#(false(), x, y, m) -> c_15(minIter^#(x, y, m))
    , 16: head^#(add(n, x)) -> c_16()
    , 17: tail^#(nil()) -> c_17()
    , 18: tail^#(add(n, x)) -> c_18()
    , 19: null^#(nil()) -> c_19()
    , 20: null^#(add(n, x)) -> c_20()
    , 21: rm^#(n, nil()) -> c_21()
    , 22: rm^#(n, add(m, x)) ->
          c_22(if_rm^#(eq(n, m), n, add(m, x)), eq^#(n, m))
    , 23: if_rm^#(true(), n, add(m, x)) -> c_23(rm^#(n, x))
    , 24: if_rm^#(false(), n, add(m, x)) -> c_24(rm^#(n, x))
    , 25: minsort^#(nil(), nil()) -> c_25()
    , 26: minsort^#(add(n, x), y) ->
          c_26(if_minsort^#(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y),
               eq^#(n, min(add(n, x))),
               min^#(add(n, x)))
    , 27: if_minsort^#(true(), add(n, x), y) ->
          c_27(minsort^#(app(rm(n, x), y), nil()),
               app^#(rm(n, x), y),
               rm^#(n, x))
    , 28: if_minsort^#(false(), add(n, x), y) ->
          c_28(minsort^#(x, add(n, y))) }

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate MAYBE.

Strict DPs:
  { eq^#(s(x), s(y)) -> c_4(eq^#(x, y))
  , le^#(s(x), s(y)) -> c_7(le^#(x, y))
  , app^#(add(n, x), y) -> c_9(app^#(x, y))
  , min^#(add(n, x)) -> c_11(minIter^#(add(n, x), add(n, x), 0()))
  , minIter^#(nil(), add(n, y), m) ->
    c_12(minIter^#(add(n, y), add(n, y), s(m)))
  , minIter^#(add(n, x), y, m) ->
    c_13(if_min^#(le(n, m), x, y, m), le^#(n, m))
  , if_min^#(false(), x, y, m) -> c_15(minIter^#(x, y, m))
  , rm^#(n, add(m, x)) ->
    c_22(if_rm^#(eq(n, m), n, add(m, x)), eq^#(n, m))
  , if_rm^#(true(), n, add(m, x)) -> c_23(rm^#(n, x))
  , if_rm^#(false(), n, add(m, x)) -> c_24(rm^#(n, x))
  , minsort^#(add(n, x), y) ->
    c_26(if_minsort^#(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y),
         eq^#(n, min(add(n, x))),
         min^#(add(n, x)))
  , if_minsort^#(true(), add(n, x), y) ->
    c_27(minsort^#(app(rm(n, x), y), nil()),
         app^#(rm(n, x), y),
         rm^#(n, x))
  , if_minsort^#(false(), add(n, x), y) ->
    c_28(minsort^#(x, add(n, y))) }
Weak DPs:
  { eq^#(0(), 0()) -> c_1()
  , eq^#(0(), s(x)) -> c_2()
  , eq^#(s(x), 0()) -> c_3()
  , le^#(0(), y) -> c_5()
  , le^#(s(x), 0()) -> c_6()
  , app^#(nil(), y) -> c_8()
  , min^#(nil()) -> c_10()
  , if_min^#(true(), x, y, m) -> c_14()
  , head^#(add(n, x)) -> c_16()
  , tail^#(nil()) -> c_17()
  , tail^#(add(n, x)) -> c_18()
  , null^#(nil()) -> c_19()
  , null^#(add(n, x)) -> c_20()
  , rm^#(n, nil()) -> c_21()
  , minsort^#(nil(), nil()) -> c_25() }
Weak Trs:
  { eq(0(), 0()) -> true()
  , eq(0(), s(x)) -> false()
  , eq(s(x), 0()) -> false()
  , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
  , le(0(), y) -> true()
  , le(s(x), 0()) -> false()
  , le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
  , app(nil(), y) -> y
  , app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
  , min(nil()) -> 0()
  , min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0())
  , minIter(nil(), add(n, y), m) ->
    minIter(add(n, y), add(n, y), s(m))
  , minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m)
  , if_min(true(), x, y, m) -> m
  , if_min(false(), x, y, m) -> minIter(x, y, m)
  , head(add(n, x)) -> n
  , tail(nil()) -> nil()
  , tail(add(n, x)) -> x
  , null(nil()) -> true()
  , null(add(n, x)) -> false()
  , rm(n, nil()) -> nil()
  , rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
  , if_rm(true(), n, add(m, x)) -> rm(n, x)
  , if_rm(false(), n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
  , minsort(nil(), nil()) -> nil()
  , minsort(add(n, x), y) ->
    if_minsort(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y)
  , if_minsort(true(), add(n, x), y) ->
    add(n, minsort(app(rm(n, x), y), nil()))
  , if_minsort(false(), add(n, x), y) -> minsort(x, add(n, y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  MAYBE

The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is
closed under successors. The DPs are removed.

{ eq^#(0(), 0()) -> c_1()
, eq^#(0(), s(x)) -> c_2()
, eq^#(s(x), 0()) -> c_3()
, le^#(0(), y) -> c_5()
, le^#(s(x), 0()) -> c_6()
, app^#(nil(), y) -> c_8()
, min^#(nil()) -> c_10()
, if_min^#(true(), x, y, m) -> c_14()
, head^#(add(n, x)) -> c_16()
, tail^#(nil()) -> c_17()
, tail^#(add(n, x)) -> c_18()
, null^#(nil()) -> c_19()
, null^#(add(n, x)) -> c_20()
, rm^#(n, nil()) -> c_21()
, minsort^#(nil(), nil()) -> c_25() }

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate MAYBE.

Strict DPs:
  { eq^#(s(x), s(y)) -> c_4(eq^#(x, y))
  , le^#(s(x), s(y)) -> c_7(le^#(x, y))
  , app^#(add(n, x), y) -> c_9(app^#(x, y))
  , min^#(add(n, x)) -> c_11(minIter^#(add(n, x), add(n, x), 0()))
  , minIter^#(nil(), add(n, y), m) ->
    c_12(minIter^#(add(n, y), add(n, y), s(m)))
  , minIter^#(add(n, x), y, m) ->
    c_13(if_min^#(le(n, m), x, y, m), le^#(n, m))
  , if_min^#(false(), x, y, m) -> c_15(minIter^#(x, y, m))
  , rm^#(n, add(m, x)) ->
    c_22(if_rm^#(eq(n, m), n, add(m, x)), eq^#(n, m))
  , if_rm^#(true(), n, add(m, x)) -> c_23(rm^#(n, x))
  , if_rm^#(false(), n, add(m, x)) -> c_24(rm^#(n, x))
  , minsort^#(add(n, x), y) ->
    c_26(if_minsort^#(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y),
         eq^#(n, min(add(n, x))),
         min^#(add(n, x)))
  , if_minsort^#(true(), add(n, x), y) ->
    c_27(minsort^#(app(rm(n, x), y), nil()),
         app^#(rm(n, x), y),
         rm^#(n, x))
  , if_minsort^#(false(), add(n, x), y) ->
    c_28(minsort^#(x, add(n, y))) }
Weak Trs:
  { eq(0(), 0()) -> true()
  , eq(0(), s(x)) -> false()
  , eq(s(x), 0()) -> false()
  , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
  , le(0(), y) -> true()
  , le(s(x), 0()) -> false()
  , le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
  , app(nil(), y) -> y
  , app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
  , min(nil()) -> 0()
  , min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0())
  , minIter(nil(), add(n, y), m) ->
    minIter(add(n, y), add(n, y), s(m))
  , minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m)
  , if_min(true(), x, y, m) -> m
  , if_min(false(), x, y, m) -> minIter(x, y, m)
  , head(add(n, x)) -> n
  , tail(nil()) -> nil()
  , tail(add(n, x)) -> x
  , null(nil()) -> true()
  , null(add(n, x)) -> false()
  , rm(n, nil()) -> nil()
  , rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
  , if_rm(true(), n, add(m, x)) -> rm(n, x)
  , if_rm(false(), n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x))
  , minsort(nil(), nil()) -> nil()
  , minsort(add(n, x), y) ->
    if_minsort(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y)
  , if_minsort(true(), add(n, x), y) ->
    add(n, minsort(app(rm(n, x), y), nil()))
  , if_minsort(false(), add(n, x), y) -> minsort(x, add(n, y)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  MAYBE

We replace rewrite rules by usable rules:

  Weak Usable Rules:
    { eq(0(), 0()) -> true()
    , eq(0(), s(x)) -> false()
    , eq(s(x), 0()) -> false()
    , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
    , le(0(), y) -> true()
    , le(s(x), 0()) -> false()
    , le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
    , app(nil(), y) -> y
    , app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
    , min(nil()) -> 0()
    , min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0())
    , minIter(nil(), add(n, y), m) ->
      minIter(add(n, y), add(n, y), s(m))
    , minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m)
    , if_min(true(), x, y, m) -> m
    , if_min(false(), x, y, m) -> minIter(x, y, m)
    , rm(n, nil()) -> nil()
    , rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
    , if_rm(true(), n, add(m, x)) -> rm(n, x)
    , if_rm(false(), n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x)) }

We are left with following problem, upon which TcT provides the
certificate MAYBE.

Strict DPs:
  { eq^#(s(x), s(y)) -> c_4(eq^#(x, y))
  , le^#(s(x), s(y)) -> c_7(le^#(x, y))
  , app^#(add(n, x), y) -> c_9(app^#(x, y))
  , min^#(add(n, x)) -> c_11(minIter^#(add(n, x), add(n, x), 0()))
  , minIter^#(nil(), add(n, y), m) ->
    c_12(minIter^#(add(n, y), add(n, y), s(m)))
  , minIter^#(add(n, x), y, m) ->
    c_13(if_min^#(le(n, m), x, y, m), le^#(n, m))
  , if_min^#(false(), x, y, m) -> c_15(minIter^#(x, y, m))
  , rm^#(n, add(m, x)) ->
    c_22(if_rm^#(eq(n, m), n, add(m, x)), eq^#(n, m))
  , if_rm^#(true(), n, add(m, x)) -> c_23(rm^#(n, x))
  , if_rm^#(false(), n, add(m, x)) -> c_24(rm^#(n, x))
  , minsort^#(add(n, x), y) ->
    c_26(if_minsort^#(eq(n, min(add(n, x))), add(n, x), y),
         eq^#(n, min(add(n, x))),
         min^#(add(n, x)))
  , if_minsort^#(true(), add(n, x), y) ->
    c_27(minsort^#(app(rm(n, x), y), nil()),
         app^#(rm(n, x), y),
         rm^#(n, x))
  , if_minsort^#(false(), add(n, x), y) ->
    c_28(minsort^#(x, add(n, y))) }
Weak Trs:
  { eq(0(), 0()) -> true()
  , eq(0(), s(x)) -> false()
  , eq(s(x), 0()) -> false()
  , eq(s(x), s(y)) -> eq(x, y)
  , le(0(), y) -> true()
  , le(s(x), 0()) -> false()
  , le(s(x), s(y)) -> le(x, y)
  , app(nil(), y) -> y
  , app(add(n, x), y) -> add(n, app(x, y))
  , min(nil()) -> 0()
  , min(add(n, x)) -> minIter(add(n, x), add(n, x), 0())
  , minIter(nil(), add(n, y), m) ->
    minIter(add(n, y), add(n, y), s(m))
  , minIter(add(n, x), y, m) -> if_min(le(n, m), x, y, m)
  , if_min(true(), x, y, m) -> m
  , if_min(false(), x, y, m) -> minIter(x, y, m)
  , rm(n, nil()) -> nil()
  , rm(n, add(m, x)) -> if_rm(eq(n, m), n, add(m, x))
  , if_rm(true(), n, add(m, x)) -> rm(n, x)
  , if_rm(false(), n, add(m, x)) -> add(m, rm(n, x)) }
Obligation:
  innermost runtime complexity
Answer:
  MAYBE

The input cannot be shown compatible

Arrrr..