MAYBE

Problem:
 le(0(),y) -> true()
 le(s(x),0()) -> false()
 le(s(x),s(y)) -> le(x,y)
 minus(x,x) -> 0()
 minus(x,0()) -> x
 minus(0(),x) -> 0()
 minus(s(x),s(y)) -> minus(x,y)
 isZero(0()) -> true()
 isZero(s(x)) -> false()
 mod(x,y) -> if_mod(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
 if_mod(true(),b,x,y,z) -> divByZeroError()
 if_mod(false(),false(),x,y,z) -> x
 if_mod(false(),true(),x,y,z) -> mod(z,y)

Proof:
 DP Processor:
  DPs:
   le#(s(x),s(y)) -> le#(x,y)
   minus#(s(x),s(y)) -> minus#(x,y)
   mod#(x,y) -> minus#(x,y)
   mod#(x,y) -> le#(y,x)
   mod#(x,y) -> isZero#(y)
   mod#(x,y) -> if_mod#(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
   if_mod#(false(),true(),x,y,z) -> mod#(z,y)
  TRS:
   le(0(),y) -> true()
   le(s(x),0()) -> false()
   le(s(x),s(y)) -> le(x,y)
   minus(x,x) -> 0()
   minus(x,0()) -> x
   minus(0(),x) -> 0()
   minus(s(x),s(y)) -> minus(x,y)
   isZero(0()) -> true()
   isZero(s(x)) -> false()
   mod(x,y) -> if_mod(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
   if_mod(true(),b,x,y,z) -> divByZeroError()
   if_mod(false(),false(),x,y,z) -> x
   if_mod(false(),true(),x,y,z) -> mod(z,y)
  TDG Processor:
   DPs:
    le#(s(x),s(y)) -> le#(x,y)
    minus#(s(x),s(y)) -> minus#(x,y)
    mod#(x,y) -> minus#(x,y)
    mod#(x,y) -> le#(y,x)
    mod#(x,y) -> isZero#(y)
    mod#(x,y) -> if_mod#(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
    if_mod#(false(),true(),x,y,z) -> mod#(z,y)
   TRS:
    le(0(),y) -> true()
    le(s(x),0()) -> false()
    le(s(x),s(y)) -> le(x,y)
    minus(x,x) -> 0()
    minus(x,0()) -> x
    minus(0(),x) -> 0()
    minus(s(x),s(y)) -> minus(x,y)
    isZero(0()) -> true()
    isZero(s(x)) -> false()
    mod(x,y) -> if_mod(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
    if_mod(true(),b,x,y,z) -> divByZeroError()
    if_mod(false(),false(),x,y,z) -> x
    if_mod(false(),true(),x,y,z) -> mod(z,y)
   graph:
    if_mod#(false(),true(),x,y,z) -> mod#(z,y) ->
    mod#(x,y) -> if_mod#(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
    if_mod#(false(),true(),x,y,z) -> mod#(z,y) ->
    mod#(x,y) -> isZero#(y)
    if_mod#(false(),true(),x,y,z) -> mod#(z,y) ->
    mod#(x,y) -> le#(y,x)
    if_mod#(false(),true(),x,y,z) -> mod#(z,y) ->
    mod#(x,y) -> minus#(x,y)
    mod#(x,y) -> if_mod#(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y)) ->
    if_mod#(false(),true(),x,y,z) -> mod#(z,y)
    mod#(x,y) -> minus#(x,y) -> minus#(s(x),s(y)) -> minus#(x,y)
    mod#(x,y) -> le#(y,x) -> le#(s(x),s(y)) -> le#(x,y)
    minus#(s(x),s(y)) -> minus#(x,y) -> minus#(s(x),s(y)) -> minus#(x,y)
    le#(s(x),s(y)) -> le#(x,y) -> le#(s(x),s(y)) -> le#(x,y)
   SCC Processor:
    #sccs: 3
    #rules: 4
    #arcs: 9/49
    DPs:
     if_mod#(false(),true(),x,y,z) -> mod#(z,y)
     mod#(x,y) -> if_mod#(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
    TRS:
     le(0(),y) -> true()
     le(s(x),0()) -> false()
     le(s(x),s(y)) -> le(x,y)
     minus(x,x) -> 0()
     minus(x,0()) -> x
     minus(0(),x) -> 0()
     minus(s(x),s(y)) -> minus(x,y)
     isZero(0()) -> true()
     isZero(s(x)) -> false()
     mod(x,y) -> if_mod(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
     if_mod(true(),b,x,y,z) -> divByZeroError()
     if_mod(false(),false(),x,y,z) -> x
     if_mod(false(),true(),x,y,z) -> mod(z,y)
    Open
    
    DPs:
     le#(s(x),s(y)) -> le#(x,y)
    TRS:
     le(0(),y) -> true()
     le(s(x),0()) -> false()
     le(s(x),s(y)) -> le(x,y)
     minus(x,x) -> 0()
     minus(x,0()) -> x
     minus(0(),x) -> 0()
     minus(s(x),s(y)) -> minus(x,y)
     isZero(0()) -> true()
     isZero(s(x)) -> false()
     mod(x,y) -> if_mod(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
     if_mod(true(),b,x,y,z) -> divByZeroError()
     if_mod(false(),false(),x,y,z) -> x
     if_mod(false(),true(),x,y,z) -> mod(z,y)
    Subterm Criterion Processor:
     simple projection:
      pi(le#) = 1
     problem:
      DPs:
       
      TRS:
       le(0(),y) -> true()
       le(s(x),0()) -> false()
       le(s(x),s(y)) -> le(x,y)
       minus(x,x) -> 0()
       minus(x,0()) -> x
       minus(0(),x) -> 0()
       minus(s(x),s(y)) -> minus(x,y)
       isZero(0()) -> true()
       isZero(s(x)) -> false()
       mod(x,y) -> if_mod(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
       if_mod(true(),b,x,y,z) -> divByZeroError()
       if_mod(false(),false(),x,y,z) -> x
       if_mod(false(),true(),x,y,z) -> mod(z,y)
     Qed
    
    DPs:
     minus#(s(x),s(y)) -> minus#(x,y)
    TRS:
     le(0(),y) -> true()
     le(s(x),0()) -> false()
     le(s(x),s(y)) -> le(x,y)
     minus(x,x) -> 0()
     minus(x,0()) -> x
     minus(0(),x) -> 0()
     minus(s(x),s(y)) -> minus(x,y)
     isZero(0()) -> true()
     isZero(s(x)) -> false()
     mod(x,y) -> if_mod(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
     if_mod(true(),b,x,y,z) -> divByZeroError()
     if_mod(false(),false(),x,y,z) -> x
     if_mod(false(),true(),x,y,z) -> mod(z,y)
    Subterm Criterion Processor:
     simple projection:
      pi(minus#) = 1
     problem:
      DPs:
       
      TRS:
       le(0(),y) -> true()
       le(s(x),0()) -> false()
       le(s(x),s(y)) -> le(x,y)
       minus(x,x) -> 0()
       minus(x,0()) -> x
       minus(0(),x) -> 0()
       minus(s(x),s(y)) -> minus(x,y)
       isZero(0()) -> true()
       isZero(s(x)) -> false()
       mod(x,y) -> if_mod(isZero(y),le(y,x),x,y,minus(x,y))
       if_mod(true(),b,x,y,z) -> divByZeroError()
       if_mod(false(),false(),x,y,z) -> x
       if_mod(false(),true(),x,y,z) -> mod(z,y)
     Qed