YES

Problem:
 p(f(f(x))) -> q(f(g(x)))
 p(g(g(x))) -> q(g(f(x)))
 q(f(f(x))) -> p(f(g(x)))
 q(g(g(x))) -> p(g(f(x)))

Proof:
 DP Processor:
  DPs:
   p#(f(f(x))) -> q#(f(g(x)))
   p#(g(g(x))) -> q#(g(f(x)))
   q#(f(f(x))) -> p#(f(g(x)))
   q#(g(g(x))) -> p#(g(f(x)))
  TRS:
   p(f(f(x))) -> q(f(g(x)))
   p(g(g(x))) -> q(g(f(x)))
   q(f(f(x))) -> p(f(g(x)))
   q(g(g(x))) -> p(g(f(x)))
  Usable Rule Processor:
   DPs:
    p#(f(f(x))) -> q#(f(g(x)))
    p#(g(g(x))) -> q#(g(f(x)))
    q#(f(f(x))) -> p#(f(g(x)))
    q#(g(g(x))) -> p#(g(f(x)))
   TRS:
    
   EDG Processor:
    DPs:
     p#(f(f(x))) -> q#(f(g(x)))
     p#(g(g(x))) -> q#(g(f(x)))
     q#(f(f(x))) -> p#(f(g(x)))
     q#(g(g(x))) -> p#(g(f(x)))
    TRS:
     
    graph:
     
    Qed