YES
TRS:
 {q(f(f(x))) -> p(f(g(x))),
  q(g(g(x))) -> p(g(f(x))),
  p(f(f(x))) -> q(f(g(x))),
  p(g(g(x))) -> q(g(f(x)))}
 DP:
  Strict:
   {q#(f(f(x))) -> p#(f(g(x))),
    q#(g(g(x))) -> p#(g(f(x))),
    p#(f(f(x))) -> q#(f(g(x))),
    p#(g(g(x))) -> q#(g(f(x)))}
  Weak:
  {q(f(f(x))) -> p(f(g(x))),
   q(g(g(x))) -> p(g(f(x))),
   p(f(f(x))) -> q(f(g(x))),
   p(g(g(x))) -> q(g(f(x)))}
  EDG:
   {}
   SCCS:
    
    Qed